1．在函数中，最小正周期为的函数是(　　 )

A. 　　　 　　B. 　　　　　C. 　　　　 　D.

(17)(本小题满分12分)

解: (1)从该盒10件产品中任抽4件，有等可能的结果数为种，……………………1＇

其中次品数不超过1件有种，…………………………………………………2＇

被检验认为是合格的概率为……………4＇(本步正确，对上两步不作要求)

．……………………………………………………6＇

(2)两次检验是相互独立的，可视为独立重复试验，…………………………………………7＇

因两次检验得出该盒产品合格的概率均为，

故“两次检验得出的结果不一致”即两次检验中恰有一次是合格的概率为

…………………………………10＇

．…………………………………………11＇

答：该盒产品被检验认为是合格的概率为；两次检验得出的结果不一致的概率为．

…………………………………………………………………………………………………12＇

说明：两小题中没有简要的分析过程，各扣1分．

(18)(本小题满分12分)

解：f(x)=cosqsinx－(sinxcosq－cosxsinq)+(tanq－2)sinx－sinq

　　　 =sinqcosx+(tanq－2)sinx－sinq．……………………………………………………1¢

因为f(x)是偶函数，

所以对任意xÎR，都有f(－x)=f(x)，……………………………………………………2¢

即sinqcos(－x)+(tanq－2)sin(－x)－sinq=sinqcosx+(tanq－2)sinx－sinq,

即(tanq－2)sinx=0，

所以tanq=2．……………………………………………………………………………5¢

由…………………………………………………………………6¢

解得

或……………………………………………………………………8¢

此时，f(x)=sinq(cosx－1).

当sinq=时，f(x)=(cosx－1)最大值为0，不合题意最小值为0，舍去；.……9¢

当sinq=时，f(x)=(cosx－1)最小值为0，

当cosx=－1时，f(x)有最大值为,…………………………………………11¢

自变量x的集合为{x|x=2kp+p,kÎZ}．.…………………………………………………12¢

(19)(本小题满分12分)

解法一：

(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系.

设，

，

(Ⅱ)，

.

解法二：

(Ⅰ)连结交于点，取中点，连结，则∥．

∴直线与所成的角就是异面直线与所成的角．

设，

则 ，

．　　

　　 ．

中，，，

直三棱柱中，，则．

(Ⅱ)直三棱柱中，，平面．

又，，，

　 平面．　 又平面，

　 平面平面．

(20)(本小题满分12分)

解：(I)设f(x)=ax²+bx+c，则f ¢(x)=2ax+b．………………………………………………1¢

　　 由题设可得：即…………………………………………4¢

解得…………………………………………………………………………5¢

所以f(x)=x²-2x-3．……………………………………………………………………6¢

　 (II)g(x)=f(x²)=x⁴－2x²－3，g ¢(x)=4x³－4x=4x(x－1)(x+1)．………………………8¢

列表：

　　 ………………………………………………………………………………………11¢

　　 由表可得：函数g(x)的单调递增区间为(-1,0)，(1,+∞)．………………………12¢

(21)(本小题满分12分)

解：(Ⅰ)时，的项都是中的项；…………………2＇(任一非负偶数均可)

时，的项不都是中的项．……………………3＇(任一正奇数均可)

　 (Ⅱ)时，…………………………………………………4＇

……………………………………………………………5＇

的项一定都是中的项．……………………………………………………………………………7＇

(Ⅲ)当且仅当取(即非负偶数)时，的项都是中的项．理由是：……………………………………………………………………………………………9＇

①当时，

时，，

其中是的非负整数倍，设为()，

只要取即(为正整数)即可得，即的项都是中的项；……11＇

②当时，不是整数，也不可能是的项．…………12＇

(22)(本小题满分14分)

解：(Ⅰ)①若直线∥轴，则点为；………………………………………………1＇

②设直线，并设点的坐标分别是，

由消去，得 ，　　 ①……………………2＇

由直线与椭圆有两个不同的交点，可得，即，所以．……………………………………………………………4＇

由及方程①，得，

，

即…………………………………………………………………………6＇

由于(否则，直线与椭圆无公共点)，将上方程组两式相除得，，代入到方程，得，整理，得(．

综上所述，点的轨迹方程为(．……………………8＇

(Ⅱ)①当∥轴时，分别是椭圆长轴的两个端点，则点在原点处，所以，，所以，；……………………………………………9＇

②由方程①，得

所以，，

，

所以．…………………………………………………12＇

因为，所以，所以，所以．

综上所述，．…………………………………………………………14＇

(13)； (14)；　 (15)；　 (16)2．

(1)C (2)D (3) B (4)D (5) B (6) B (7)C (8)C (9)D (10)C (11)A (12)C

(17)(本小题满分12分)

某厂生产的A产品按每盒10件进行包装，每盒产品均需检验合格后方可出厂．质检办法规定：从每盒10件A产品中任抽4件进行检验，若次品数不超过1件，就认为该盒产品合格；否则，就认为该盒产品不合格．已知某盒A产品中有2件次品．

(1)求该盒产品被检验合格的概率；

(2)若对该盒产品分别进行两次检验，求两次检验得出的结果不一致的概率．

(18)(本小题满分12分)

已知偶函数f(x)=cosqsinx－sin(x－q)+(tanq－2)sinx－sinq的最小值是0，求f(x)的最大值及此时x的集合．

(19) (本小题满分12分)

如图，直三棱柱中，，，为棱的中点．

		B
	C

已知二次函数f(x)满足：①在x=1时有极值； ②图象过点(0,-3)，且在该点处的切线与直线2x+y=0平行．

(I)求f(x)的解析式；

(II)求函数g(x)=f(x²)的单调递增区间

(21) (本小题满分12分)

等差数列中，，公差是自然数，等比数列中，．

(1)试找出一个的值，使的所有项都是中的项；再找出一个的值，使的项不都是中的项(不必证明)；

(Ⅱ)判断时，是否所有的项都是中的项， 并证明你的结论；

(Ⅲ)探索当且仅当取怎样的自然数时，的所有项都是中的项，并说明理由．

(22)(本小题满分14分)

如图，已知过点的直线与椭圆交于不同的两点、，点是弦的中点．

(Ⅰ)若，求点的轨迹方程；

(Ⅱ)求的取值范围．

高三数学第一次质量检测

参考解答及评分标准

(13)如图，已知点是棱长为2的正方体的棱的中点，则点到平面的距离等于_____________．

(14)若，则数列的前项和_____________．

(15)已知则　　　　　 ．

(16)有两个向量，，今有动点，从开始沿着与向量相同的方向作匀速直线运动，速度为；另一动点，从开始沿着与向量相同的方向作匀速直线运动，速度为．设、在时刻秒时分别在、处，则当时，　　　　　 秒．

　四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．

(1)与向量平行的单位向量为(　 )

A．　　　　　　　　　　　　 B．

　C．或　　　　　 　D．　　　　

(2)函数的定义域为(　 )

A.．　　　　　　　　 B．　

　C．　　　　　　　　　　　　　 D．

(3)已知样本:

那么频率为0.3的范围是(　 )

　　 A．　　　　　 B．　　　　 C．　　　　 D．

(4)已知直线m、n和平面，则m∥n的一个必要条件是(　　 )

A．m∥，n∥　　　　　　　　　　　 B．m⊥，n⊥

C．m∥，n　　　　　　　　　　 　D．m、n与成等角

(5)若正数满足，则的取值范围是(　　 )

A．　　　 B．　　　 C．　　　　 D．

(6)设双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列，则双曲线的离心率为(　　 )

A．　　　　　　　　 B．　　　　　　 C．　　　　　　 D．

(7)若函数y=f(x) (xÎR)满足f(x+2)=f(x)，且xÎ(－1,1]时，f(x)=|x|．则函数y=f(x)的图象与函数y=log₄|x|的图象的交点的个数为(　　 )

A．3　　　　　　　　　 B．4　　　　　　　　　 C．6　　　　　　　 D．8

(8)已知点是抛物线上的动点，点在轴上的射影是，点的坐标是，则的最小值是(　　 )

A．　　　　　　　　 B．4 　　　　　　　　C．　　　　　　　 D．5

(9)已知函数的图象与函数的图象关于

直线对称，则的值为　 (　 )

A．1　　　　　　　　 B．　　　　　　　 C．2　　　　　　 D．

(10)能够使得圆上恰有两个点到直线距离等于1的的一个值为(　　 )

A．2　　　　　　　　 B．　　　　　　　 C．3　　　　　　 D．

(11)关于x的不等式ax-b>0的解集是(1,+∞)，则关于x的不等式的解集是(　 )

A．(-∞,-1)∪(2,+∞)　　　 B．(-1,2)　　　　 C．(1,2)　　　　 D．(-∞,1)∪(2,+∞)

(12)由0，1，2，…，9这十个数字组成的、无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的个数为(　　 )

A.180　　　　　　　　　 B.196　　　　　　 C.210　　　　　 　D.224

第Ⅱ卷(非选择题共90分)

22．由　 　y= f(x )= ax²+bx+c　　　　　　 　y= g(x) = ax+b

得ax²+(b－a)x+(c－b)=0　 (*)

Δ=(b－a)²－4a (c－b)

∵f(x)=ax²+bx+c, f(1)=0　 ∴f(1)=a+b+c=0又a＞b＞c　

∴3a＞a+b+c＞3c即a＞0,c＜0　　　 ∴b－a＜0,c－b＜0,a＞0

∴Δ=(b－a)²－4a(c－b)＞0

故函数y=f(x)与y=g(x)的图象有两个交点；

(2)解：设A、B的坐标分别为(x₁,y₁)、(x₂，y₂)，

则x₁、x₂是方程(*)的两根故x₁+x₂=－,

x₁x₂=,所以｜A₁B₁｜=｜x₁－x₂｜=

==又a+b+c=0,故b=－(a+c)

因而(b－a)²－4a(c－b)=(－2a－c)²－4a(a+2c)=c²－4ac

故｜A₁B₁｜===∵a＞b＞c,a+b+c=0

∴a＞－(a+c)＞c　　　　 ∴－2＜＜－

∴｜A₁B₁｜的取值范围是(，2)

(3)证明：不妨设x₁＞x₂,则由(2)知：＜x₁－x₂＜2　 ①

x₁+x₂=－=1－　 由a＞b＞c得：＜＜1,

故0＜1－＜1－又－2＜＜－,

故＜1－＜3,　 因而0＜1－≤　　 即0＜x₁－x₂≤ 　②

由①、②得：－＜x₂≤0,

即方程(*)，也就是方程f(x)－g(x)=0的较小根的范围是(－，0].

又a＞0,故当x≤－时，f(x)－g(x)＞0恒成立，

即当x≤－时，恒有f(x)＞g(x)

20.　　 解：(I)设B，A，，M是△ABC边AC的中点

　　 ∴　 4分

　　 (II)∵，M是△ABC边AC的中点

　　 ∴

　 　∴

　　 当时，

　　 当且仅当。

　　 此时点C的坐标是　 ()　 8分

　　 当m>9时，S=f(t)在区间(0，1]上是增函数，证明如下：

　　 设

　　 ∵，

　　 又

　　 ∴

　　 ∴S=f(t)在(0，1]上为增函数，　 11分

　　 故t=1时，。　 13分

22：设，且，则，且。

∵在上是增函数，∴又为奇函数，∴∴。∴在上也是增函数。(Ⅱ)∵函数在和上是增函数，且在R上是奇函数

∵在上是增函数。∵，

∴。 ，

，，

。

∵当时，的最大值为，

∴当时，不等式恒成立。

18. 解：(I)以甲3胜1败而结束比赛，甲只能在1、2、3次中失败1次，因此所求概率为：

　　 (II)乙3胜2败的场合，因而所求概率为：

　　 (III)甲先胜3次的情况有3种：3胜无败，3胜1败，3胜2败

　　 其概率分别为

　　 于是　　 乙获胜概率

19，解

由题知：上恒成立

而

令递增且最小值为 　

20，(Ⅰ)依题意知，第x年该村的工农业生产总值为(3180+60x)万元，该村第x年的人口总数(1480+ax)人.

(Ⅱ)为使该村的人均产值年年都有增长，则在为增长函数，设

……(11分)