21. 设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,,动点的轨迹为E.

(1)求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状; 　 　

(2)已知,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且(O为坐标原点),并求出该圆的方程;

(3)已知,设直线与圆C:(1<R<2)相切于A₁,且与轨迹E只有一个公共点B₁,当R为何值时,|A₁B₁|取得最大值?并求最大值.

20.解：(1)直线y=x与曲线的交点可由

求得交点为(1，1)和(4，4)，此时在区间[1，4]上图象在直线y=x的下面，即恒成立，所以m的最大值为4。

(2)设曲线上关于直线y=x的对称点为A()和B()，线段AB的中点M()，直线AB的方程为：

　 (1分)

又因为AB中点在直线y=x上，所以

得　 9分

(3)设P的坐标为，过P的切线方程为：，则有

直线的两根，

则　 14分

20. 已知函数

　 (1)当恒成立，求实数m的最大值；

　 (2)在曲线上存在两点关于直线对称，求t的取值范围；

　 (3)在直线的两条切线l₁、l₂，求证：l₁⊥l₂

19.解：(1)设为动圆圆心，由题意知：到定直线的距离，

由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，

∴ 动圆的圆心的轨迹的方程为： 　　　　………………………5分

(2)由题意可设直线的方程为，　 　

由　 得

　 　或　　 ………………………7分

且，　　　　　　 …………………………………9分

由 　　　…………………………………………11分

或(舍去) …………………13分

又，所以直线存在，其方程为：　 ………………14分

19. 已知动圆过定点，且与直线相切.

(1) 求动圆的圆心轨迹的方程；

(2) 是否存在直线，使过点，并与轨迹交于两点，

且满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.

18.解 (1)，．

　设圆的方程是　

　 令，得；令，得

　 ，即：的面积为定值．

　 (2)垂直平分线段．

　 ，直线的方程是．

　 ，解得：　　

　 当时，圆心的坐标为，，　

　 此时到直线的距离，

圆与直线相交于两点．　 　

当时，圆心的坐标为，，

此时到直线的距离

圆与直线不相交，

不符合题意舍去．

圆的方程为．

18. 已知：以点C (t, )(t∈R , t ≠ 0)为圆心的圆与轴交于点O, A，与y轴交于点O, B，其中O为原点．

(1)求证：△OAB的面积为定值；

(2)设直线y = –2x+4与圆C交于点M, N，若OM = ON，求圆C的方程．

17.解 (1)

由

.

.

17. 已知过点A(0，1)，且方向向量为，相交于M、N两点.

(1)求实数的取值范围；　

(2)求证：；

(3)若O为坐标原点，且. 　 　

16.[答案]：4

[解析]：可得圆方程是又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定理得