学生基础性作业九年级数学人教版
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24. 如图，在矩形ABCD中，AB=5cm，BC=6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t（0＜t＜3）s．
（1）当t为何值时，点B在PQ的垂直平分线上？
（2）当t为何值时，PQ的长度等于5cm？
（3）连接PC，是否存在t的值，使得△PQC的面积等于8cm²？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
（4）是否存在t的值，使得△BPQ的面积与五边形APQCD的面积之比等于2：13？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
答案：（1）由题意得，AP=t cm，BQ=2t cm，
则BP=AB-AP=(5-t)cm，CQ=BC-BQ=(6-2t)cm，
∵点B在PQ的垂直平分线上，
∴BP=BQ，
∴5-t=2t，
解得t=5/3，
故当t=5/3时，点B在PQ的垂直平分线上．
（2）根据题意，PQ=5cm，BP=(5-t)cm，BQ=2t cm，
在Rt△BPQ中，由勾股定理得BP²+BQ²=PQ²，
即(5-t)²+(2t)²=5²，
整理得5t²-10t=0，
解得t₁=0（舍去），t₂=2，
故当t=2时，PQ的长度等于5cm．
（3）不存在，理由如下：
CQ=(6-2t)cm，PC=AB=5cm，
△PQC的面积=1/2×CQ×BP=1/2×(6-2t)(5-t)，
令1/2×(6-2t)(5-t)=8，
整理得t²-8t+11=0，
Δ=(-8)²-4×1×11=64-44=20＞0，
解得t=(8±√20)/2=4±√5，
∵0＜t＜3，4+√5＞3，4-√5≈4-2.236=1.764，
而当t=4-√5时，CQ=6-2t=6-2×(4-√5)=6-8+2√5=2√5-2≈2×2.236-2=2.472＞0，BP=5-t=5-(4-√5)=1+√5＞0，
但原方程整理过程有误，正确应为：
S△PQC=1/2×CQ×BP=1/2×(6-2t)(5-t)=8，
(6-2t)(5-t)=16，
30-6t-10t+2t²=16，
2t²-16t+14=0，
t²-8t+7=0，
(t-1)(t-7)=0，
t₁=1，t₂=7（舍去），
当t=1时，0＜1＜3，符合题意，
故存在t=1，使得△PQC的面积等于8cm²．（注：原答案中方程整理错误，此处修正）
（4）矩形ABCD的面积=AB×BC=5×6=30cm²，
△BPQ的面积=1/2×BP×BQ=1/2×(5-t)×2t=t(5-t)，
五边形APQCD的面积=矩形ABCD的面积-△BPQ的面积=30-t(5-t)，
∵△BPQ的面积与五边形APQCD的面积之比等于2：13，
∴t(5-t)/[30-t(5-t)]=2/13，
13t(5-t)=2[30-t(5-t)]，
13t(5-t)+2t(5-t)=60，
15t(5-t)=60，
t(5-t)=4，
t²-5t+4=0，
(t-1)(t-4)=0，
解得t₁=1，t₂=4（舍去），
∵0＜1＜3，
故当t=1时，△BPQ的面积与五边形APQCD的面积之比等于2：13．
