8. 讨论不等式的解

　　 求解这类问题利用函数的单调性进行转化，脱去函数符号。

　 例12. 已知函数是定义在上的减函数，且对一切实数x，不等式恒成立，求k的值。

　　 分析：由单调性，脱去函数记号，得

　　 由题意知(1)(2)两式对一切恒成立，则有

7. 讨论方程根的问题

　 例11. 已知函数对一切实数x都满足，并且有三个实根，则这三个实根之和是_______。

　　 分析：由知直线是函数图象的对称轴。

　　 又有三个实根，由对称性知必是方程的一个根，其余两根关于直线对称，所以，故。

6. 比较函数值大小

　　 利用函数的奇偶性、对称性等性质将自变量转化到函数的单调区间内，然后利用其单调性使问题获解。

　 例10. 已知函数是定义域为R的偶函数，时，是增函数，若，，且，则的大小关系是_______。

　　 分析：且，

　　 又时，是增函数，

　　 是偶函数，

　　 故

5. 求函数值

　　 紧扣已知条件进行迭代变换，经有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解。

　 例8. 已知的定义域为，且对一切正实数x，y都成立，若，则_______。

　　 分析：在条件中，令，得

　　 ，

　　 又令，

　　 得，

　 例9. 已知是定义在R上的函数，且满足：，

，求的值。

　　 分析：紧扣已知条件，并多次使用，发现是周期函数，显然，于是

　　 ，

　　 所以

　　 故是以8为周期的周期函数，从而

4. 探求周期性

　　 这类问题较抽象，一般解法是仔细分析题设条件，通过类似，联想出函数原型，通过对函数原型的分析或赋值迭代，获得问题的解。

　 例7. 设函数的定义域为R，且对任意的x，y有

，并存在正实数c，使。试问是否为周期函数？若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由。

　　 分析：仔细观察分析条件，联想三角公式，就会发现：满足题设条件，且，猜测是以2c为周期的周期函数。

　　 故是周期函数，2c是它的一个周期。

3. 判断单调性

　　 根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。

　 例5. 如果奇函数在区间上是增函数且有最小值为5，那么在区间上是

　　 A. 增函数且最小值为　　　　　　 B. 增函数且最大值为

　　 C. 减函数且最小值为　　　　　　 D. 减函数且最大值为

　　 分析：画出满足题意的示意图1，易知选B。

图1

　 例6. 已知偶函数在上是减函数，问在上是增函数还是减函数，并证明你的结论。

　　 分析：如图2所示，易知在上是增函数，证明如下：

　　 任取

　　 因为在上是减函数，所以。

　　 又是偶函数，所以

　　 ，

　　 从而，故在上是增函数。

图2

2. 判断奇偶性

　　 根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求与的关系。

　 例3. 已知的定义域为R，且对任意实数x，y满足，求证：是偶函数。

　　 分析：在中，令，

　　 得

　　 令，得

　　 于是

　　 故是偶函数。

　 例4. 若函数与的图象关于原点对称，求证：函数

是偶函数。

　　 证明：设图象上任意一点为P()

　　 与的图象关于原点对称，

　　 关于原点的对称点在的图象上，

　　 又

　　 即对于函数定义域上的任意x都有，所以是偶函数。

　　 抽象函数的综合问题一般难度较大，常涉及到多个知识点，抽象思维程度要求较高，解题时需把握好如下三点：一是注意函数定义域的应用，二是利用函数的奇偶性去掉函数符号“”前的“负号”，三是利用函数单调性去掉函数符号“”。

　 例8　 设函数定义在R上，当时，，且对任意，有，当时。

　　 (1)证明；

　　 (2)证明：在R上是增函数；

　　 (3)设，

　　 ，若，求满足的条件。

　　 解：(1)令得，

　　 或。

　　 若，当时，有，这与当时，矛盾，

　　 。

　　 (2)设，则，由已知得，因为，，若时，，由

　　 (3)由得

　　 由得　　 (2)

　　 从(1)、(2)中消去得，因为

　　 ，

　　 即

　 例9　 定义在()上的函数满足(1)，对任意都有，

　　 (2)当时，有，

　　 (1)试判断的奇偶性；(2)判断的单调性；

　　 (3)求证。

　　 分析：这是一道以抽象函数为载体，研究函数的单调性与奇偶性，再以这些性质为基础去研究数列求和的综合题。

　　 解：(1)对条件中的，令，再令可得

　　 ，所以是奇函数。

　　 (2)设，则

　　 ，

　　 ，由条件(2)知，从而有，即，故上单调递减，由奇函数性质可知，在(0，1)上仍是单调减函数。

　　 (3)

抽象函数问题分类解析

　　 我们将没有明确给出解析式的函数称为抽象函数。近年来抽象函数问题频频出现于各类考试题中，由于这类问题抽象性强，灵活性大，多数同学感到困惑，求解无从下手。本文试图通过实例作分类解析，供学习参考。

1. 求定义域

　　 这类问题只要紧紧抓住：将函数中的看作一个整体，相当于中的x这一特性，问题就会迎刃而解。

　 例1. 函数的定义域为，则函数的定义域是___。

　　 分析：因为相当于中的x，所以，解得

或。

　 例2. 已知的定义域为，则的定义域是______。

　　 分析：因为及均相当于中的x，所以

　　 (1)当时，则

　　 (2)当时，则

　 例6　 设定义在R上且对任意的有，求证：是周期函数，并找出它的一个周期。

　　 分析：这同样是没有给出函数表达式的抽象函数，其一般解法是根据所给关系式进行递推，若能得出(T为非零常数)则为周期函数，且周期为T。

　　 证明：

　　 得

　　 由(3)得

　　 由(3)和(4)得。

　　 上式对任意都成立，因此是周期函数，且周期为6。

　 例7　 已知对一切，满足，且当时，，求证：(1)时，(2)在R上为减函数。

　　 证明：对一切有。

　　 且，令，得，

　　 现设，则，，

　　 而

　　 ，

　　 设且，

　　 则

　　 ，

　　 即为减函数。

　　 这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值，再通过函数的单调性去掉函数符号“”，转化为代数不等式求解。

　 例5　 已知函数对任意有，当时，，，求不等式的解集。

　　 解：设且

　　 则

　　 ，

　　 即，

　　 故为增函数，

　　 又

　　 因此不等式的解集为。