5．(本小题满分12分)(2005年高考·全国卷Ⅰ·文19)

已知二次函数的二次项系数为a，且不等式的解集为(1，3).

　 (1)若方程有两个相等的根，求的解析式；

　 (2)若的最大值为正数，求a的取值范围.

本小题主要考查二次函数、方程的根与系数关系，考查运用数学知识解决问题的能力.满分12分.

解：(Ⅰ)

①

由方程　　 ②

因为方程②有两个相等的根，所以，

即　

由于代入①得的解析式

　 (Ⅱ)由

及

由 解得

故当的最大值为正数时，实数a的取值范围是

4．(2005年高考·浙江卷·理16文20)已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x²+2x．

　 (Ⅰ)求函数g(x)的解析式；

　 (Ⅱ)解不等式g(x)≥f(x)－|x－1|；

　 (Ⅲ)(文20)若h(x)＝g(x)－f(x)+1在[－1，1]上是增函数，求实数的取值范围．

解：(Ⅰ)设函数的图象上任意一点关于原点的对称点为，则

∵点在函数的图象上

∴

(Ⅱ)由

当时，，此时不等式无解

当时，，解得

因此，原不等式的解集为

(Ⅲ)(文20)

①

②

ⅰ)

ⅱ)

3．(本小题满分14分)(2005年高考·广东卷19)

设函数，且在闭区间[0，7]上，只有(Ⅰ)试判断函数的奇偶性；

　 (Ⅱ)试求方程在闭区间[－2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论.

解: (I)　由于在闭区间[0，7]上，只有，故．若是奇函数，则，矛盾．所以，不是奇函数．

由

,　从而知函数是以为周期的函数．

若是偶函数，则．又，从而．

由于对任意的(3，7]上，，又函数的图象的关于对称，所以对区间[7，11)上的任意均有．所以，，这与前面的结论矛盾．

所以，函数是非奇非偶函数．

　(II) 由第(I)小题的解答，我们知道在区间(0，10)有且只有两个解，并且．由于函数是以为周期的函数，故．所以在区间[－2000,2000]上，方程共有个解．

在区间[2000,2010]上，方程有且只有两个解．因为

，

所以，在区间[2000,2005]上，方程有且只有两个解．

在区间[－2010,－2000]上，方程有且只有两个解．因为

，

所以，在区间[－2005,－2000]上，方程无解．

　综上所述，方程在[－2005,2005]上共有802个解.

(2005年高考·浙江卷·理16)已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x²＝2x．

　 (Ⅰ)求函数g(x)的解析式；

　 (Ⅱ)解不等式g(x)≥f(x)－|x－1|．

2．(本小题满分12分)(2005年春考·北京卷·文15)

记函数的定义域为集合M，函数的定义域为集合N．求：

(1)集合M，N；

(2)集合，．

本小题主要考查集合的基本知识，考查逻辑思维能力和运算能力．满分12分．

解：(Ⅰ)

(Ⅱ)

　　　 .

1．(本小题满分12分)(2005年春考·北京卷·理15)

设函数的定义域为集合M，函数的定义域为集合N．求：

(1)集合M，N；

(2)集合，．

本小题主要考查集合的基本知识，考查逻辑思维能力和运算能力．满分12分．

解：(Ⅰ)

(Ⅱ)

　　　 .

21．(2005年高考·全国卷Ⅰ·理13文13)若正整数m满足155

19．(2005年高考·天津卷·文15)设函数，则函数的定义域为__________(2,1)È(1,2)

18．(2005年高考·天津卷·理16)设f(x)是定义在R上的奇函数，且y=f (x)的图象关于直线对称，则f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=________________. 0

17．(2005年高考·浙江卷·理11文11)函数y＝(x∈R，且x≠－2)的反函数是_________．

16．(2005年高考·江苏卷17)已知a，b为常数，若，，则_________。2