23.设，对任意实数，记．

(I)求函数的单调区间；

(II)求证：(ⅰ)当时，对任意正实数成立；

(ⅱ)有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立．

本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力．满分15分．

22.设函数()，其中．

(Ⅰ)当时，求曲线在点处的切线方程；

(Ⅱ)当时，求函数的极大值和极小值；

(Ⅲ)当时，证明存在，使得不等式对任意的恒成立．

本小题主要考查运用导数研究函数的性质、曲线的切线方程，函数的极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法．满分14分．

21.已知函数，其中．

(Ⅰ)当时，求曲线在点处的切线方程；

(Ⅱ)当时，求函数的单调区间与极值．

本小题考查导数的几何意义，两个函数的和、差、积、商的导数，利用导数研究函数的单调性和极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法．满分12分．

20．设函数为奇函数，其图象在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为．

(Ⅰ)求，，的值；

(Ⅱ)求函数的单调递增区间，并求函数在上的最大值和最小值．

解析：本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以及推理能力和运算能力．

18．　

解： (1)，

　　　　　　　 ，　　　　　　　　　

　　　　　　　 ．　　　　　　　　

　　 　原不等式的解为．　　　　　

　　 (2)当时，，

　　 对任意，，

　　 为偶函数．　

　　 当时，，

　　 取，得 ，

　　 ， 　　

　函数既不是奇函数，也不是偶函数． 19. (Ⅰ)解：展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是

(Ⅱ)证法一：因

证法二：因

而

故只需对和进行比较。

令，有

由，得

因为当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以在处有极小值

故当时，，

从而有，亦即

故有恒成立。

所以，原不等式成立。

(Ⅲ)对，且

有

又因，故

∵，从而有成立，

即存在，使得恒成立。

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17. 解：(1)当时，，

　　 对任意，， 为偶函数．　

　　 当时，，

　　 取，得 ，　

　　 ，

　　 　函数既不是奇函数，也不是偶函数．　

　　 (2)解法一：设，

　　 ，　

　　 要使函数在上为增函数，必须恒成立．

　　 ，即恒成立．　

　　 又，．

　　 的取值范围是．

　　 解法二：当时，，显然在为增函数．　

当时，反比例函数在为增函数，

在为增函数．　

　　 当时，同解法一．　

16. 解：(Ⅰ)，由已知，

即解得

，，，．

(Ⅱ)令，即，

，或．

又在区间上恒成立，．

15. 解：(Ⅰ)的定义域为，恒成立，，

，即当时的定义域为．

(Ⅱ)，令，得．

由，得或，又，

时，由得；

当时，；当时，由得，

即当时，的单调减区间为；

当时，的单调减区间为．

14. 证明：因为，所以的定义域为．

　　 ．

　　 当时，如果在上单调递增；

　　　　　　　 如果在上单调递减．

　　 所以当，函数没有极值点．

　　 当时，

　　 令，

　　 将(舍去)，，

　　 当时，随的变化情况如下表：

		0
		极小值

从上表可看出，

　　 函数有且只有一个极小值点，极小值为．

　　 当时，随的变化情况如下表：

		0
		极大值

　　 从上表可看出，

函数有且只有一个极大值点，极大值为．

　　 综上所述，

　　 当时，函数没有极值点；

　　 当时，

　　 若时，函数有且只有一个极小值点，极小值为．

　　 若时，函数有且只有一个极大值点，极大值为．

13. 解：(Ⅰ)由题意知，的定义域为，

设，其图象的对称轴为，

．

当时，，

即在上恒成立，

当时，，

当时，函数在定义域上单调递增．

(Ⅱ)①由(Ⅰ)得，当时，函数无极值点．

②时，有两个相同的解，

时，，

时，，

时，函数在上无极值点．

③当时，有两个不同解，，，

时，，，

即，．

时，，随的变化情况如下表：

		极小值

由此表可知：时，有惟一极小值点，

当时，，

，

此时，，随的变化情况如下表：

		极大值		极小值

由此表可知：时，有一个极大值和一个极小值点；

综上所述：

时，有惟一最小值点；

时，有一个极大值点和一个极小值点；

时，无极值点．

(Ⅲ)当时，函数，

令函数，

则．

当时，，所以函数在上单调递增，

又．

时，恒有，即恒成立．

故当时，有．

对任意正整数取，则有．

所以结论成立．