1．设则复数为实数的充要条件是(　 )

　　 (A)　(B)　(C)　(D)

28．设复数，试求m取何值时

(1)Z是实数；　　 (2)Z是纯虚数；　 (3)Z对应的点位于复平面的第一象限

27．已知关于的方程组有实数，求的值。

26．已知复数，满足，且为纯虚数，求证： 为实数。

4.线上一点Q引直线的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程。

答案：

2．线C∶x²+4y²=4关于直线y=x-3对称的曲线C′的方程．

由教师引导方法，学生演板完成．解答为：

设(x′，y′)是曲线C上任意一点，且设它关于直线y=x-3的对称点为(x，y)．

则

又(x′，y′)为曲线C上的点，

∴(y+3)2+4(x-3)2=4．

∴曲线C的方程为：4(x-3)²+(y+3)2=4．

3 (课本P53，习题)弦中点轨迹问题

[解](1)设这组平行直线的直线方程为y= , 由消去y,得

9x²+6mx+2m² – 18 =0, 因为直线与椭圆有两个不同的交点，故△>0 Û m Î ().

(2) 设平行直线与椭圆交点为A(x₁,y₁),B(x₂,y₂), AB中点为M(x,y)

　则x = , y = =,消去m，得3x+2y=0

　 所以这组平行弦的中点都在直线3x+2y上.

1．是双曲线的两个焦点，Q是双曲线上任意一点，从引的平分线的垂线，垂足为P，则点P的轨迹方程是____________()

5、向量工具“自觉用”

向量是新课改后增加的内容，它是数形转化的纽带，它在初等数学的各个分支中起着十分重要的工具作用，在复习时应加强训练， 并能运用自如。

典型例题

解：圆圆心为M(x，y)，半径为r

，

∴M的轨迹是以O₁(5，0)、 O₂ (-5，0)为焦点的双曲线的右支

例2 设F(1，0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且当点P在y轴上运动时，求N点的轨迹C的方程.

[解]∵，故P为MN中点．

又∵，P在y轴上，F为(1，0)，故M在x轴的负方向上，设N(x，y)则M(－x，0)，，(x>0)，

　∴，　

又∵故　

即　 是轨迹C的方程。

评:本题为直接法求轨迹方程.

例3．的两个顶点B(-2，0)，C(2，0)，顶点A 在抛物线上移动，求的重心的轨迹方程。

[解]设的重心G为(x, y), A(x₀, y₀)

　 则由重心坐标公式有x= , y=

　 即x₀ = 3x, y₀ = 3y

　 ∵顶点A 在抛物线上移动

　 ∴ Û 3y = (3x)² +1 ，即

　 ∴所求轨迹方程为.

评：本题为相关点法求轨迹方程，最后求出的轨迹可以保证A，B，C不共线，所以对x, y不需要注上任何范围.

例4 已知椭圆：，直线，P是上一点，射线OP交椭圆于一点R，点Q在OP上且满足，当点P在上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？

[解]如图2，显然点Q在椭圆内，因共线。故可设，l>0, m>0, 设Q(x, y)，则

，，

　　 由，得

　　 ，

　　 点R在椭圆上，点P在上，

　　 　　即

　　 　　　整理得

评: 本题为双参数法求轨迹方程.

例5．已知两点以及一条直线，设长为的线段AB在直线上移动，求直线PA和QB的交点M的轨迹方程。

　则由|AB|= Þ b = a+1

直线QB方程为y – 2 =

∴动点M满足，消去参数a, b得.

评：本题为参数法求轨迹方程，属于交轨问题(交点轨迹问题),常见题型.

例6．设椭圆方程为，过点(0，1)的直线交椭圆于点、是坐标原点，点满足，点的坐标为，当绕点旋转时，求：

(1)动点的轨迹方程； (2)的最小值与最大值.

解. 直线过点(0，1), 斜率存在时设其为，则的方程为

由方程组消元得，记、

则有 　于是=

设点的坐标为 则 消去参数得.*　　 当不存在时，中点为坐标原点(0，0)，也满足方程*，所以点的轨迹方程为　　

　 (2)由点的轨迹方程知, 即,　　　　

所以,

故当时，取得最小值为时，取得最大值为.

例7.(辽宁2008)直角坐标系中，点P到两点，的距离之和等于

4，设点P的轨迹为，直线与C交于A，B两点．

(Ⅰ)写出C的方程；

(Ⅱ)若，求k的值；

(Ⅲ)若点A在第一象限，证明：当k>0时，恒有||>||．

解：(Ⅰ)设P(x，y)，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴，

故曲线C的方程为．

(Ⅱ)设，其坐标满足

消去y并整理得，

故．

若，即．

而，

于是，

化简得，所以．

(Ⅲ)

　　　　　　　　　 ．

因为A在第一象限，故．由知，从而．又，

故，

即在题设条件下，恒有．

练习

4、平几知识“首先用”

在处理轨迹问题时， 要特别注意运用平面几何知识， 其作用主要有：①题中没有给出明显的条件式时，可帮助列式；②简化条件；③可以等价转化问题。

3、认真细致定范围

确定轨迹的范围是处理轨迹问题的难点，也是容易出现错误的地方，在确定轨迹范围时，应注意以下几个方面：①准确理解题意，挖掘隐含条件；②列式不改变题意，并且要全面考虑各种情形；③推理要严密，方程化简要等价；④消参时要保持范围的等价性；⑤数形结合，查“漏”补“缺”。