2.(2003年河南调研题)将函数y=2sin2x的图象按向量a平移，得到函数y=2sin(2x+)+1的图象，则a等于

A.(－，1)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.(－，1)

C.(，－1)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.(，1)

解析：由y=2sin(2x+)+1得y=2sin2(x+)+1，∴a=(－，1).

答案：B

1.(2004年福州质量检查题)将函数y=sinx按向量a=(－，3)平移后的函数解析式为

A.y=sin(x－)+3　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.y=sin(x－)－3

C.y=sin(x+)+3　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.y=sin(x+)－3

解析：由得

∴－3=sin(+).

∴=sin(+)+3，

即y=sin(x+)+3.

答案：C

5.(理)若△ABC的三边的中点坐标为(2，1)、(－3，4)、(－1，－1)，则△ABC的重心坐标为____________.

解析：设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，C(x₃，y₃)，

则　　 ∴

∴重心坐标为(－，).

答案：(－，)

(文)已知点M₁(6，2)和M₂(1，7)，直线y=mx－7与线段M₁M₂的交点M分有向线段的比为3∶2，则m的值为____________.

解析：设M(x，y)，则x===3，y===5，即M(3，5)，代入y=mx－7得5=3m－7，∴m=4.

答案：4

●典例剖析

[例1] 已知点A(－1，6)和B(3，0)，在直线AB上求一点P，使||=||.

剖析：||=||，则=或=.设出P(x，y)，向量转化为坐标运算即可.

解：设P的坐标为(x，y)，若=，则由(x+1，y－6)=(4，－6)，得

解得

此时P点坐标为(，4).

若=－，则由(x+1，y－6)=－(4，－6)得

解得

∴P(－，8).综上所述，P(，4)或(－，8).

深化拓展

本题亦可转化为定比分点处理.由=，得=，则P为的定比分点，λ=，代入公式即可；若=－，则=－，则P为的定比分点，λ=－.

由两种方法比较不难得出向量的运算转化为坐标运算，是解决向量问题的一般方法.

[例2] 已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(4，1)，B(3，4)，C(－1，2)，BD是∠ABC的平分线，求点D的坐标及BD的长.

剖析：∵A、C两点坐标为已知，∴要求点D的坐标，只要能求出D分所成的比即可.

解：∵|BC|=2，|AB|=，∴D分所成的比λ=.

由定比分点坐标公式，得

∴D点坐标为(9－5，).

∴|BD|==.

评述：本题给出了三点坐标，因此三边长度易知，由角平分线的性质通过定比分点可解出D点坐标，适当利用平面几何知识，可以使有些问题得以简化.

深化拓展

本题也可用如下解法：设D(x，y)，∵BD是∠ABC的平分线，

∴〈，〉=〈，〉.

∴，

即=.

又=(1，－3)，=(x－3，y－4)，=(－4，－2)，

∴=.

∴(4+)x+(2－3)y+9－20=0.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

又A、D、C三点共线，∴，共线.

又=(x－4，y－1)，=(x+1，y－2)，

∴(x－4)(y－2)=(x+1)(y－1).　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

由①②可解得

∴D点坐标为(9－5，)，|BD|=.

思考讨论

若BD是AC边上的高，或BD把△ABC分成面积相等的两部分，本题又如何求解?请读者思考.

[例3] 已知在□ABCD中，点A(1，1)，B(2，3)，CD的中点为E(4，1)，将

□ABCD按向量a平移，使C点移到原点O.

(1)求向量a；

(2)求平移后的平行四边形的四个顶点的坐标.

解：(1)由□ABCD可得=，

设C(x₃，y₃)，D(x₄，y₄)，

则

又CD的中点为E(4，1)，

则

由①－④得

即C(，2)，D(，0).

∴a=(－，－2).

(2)由平移公式得A′(－，－1)，B′(－，1)，C′(0，0)，D′(－1，－2).

●闯关训练

夯实基础

4.若点P分所成的比是λ(λ≠0)，则点A分所成的比是____________.

解析：∵=λ，∴=λ(－+).∴(1+λ)=λ.

∴=.∴=－.

答案：－

3.设A、B、C三点共线，且它们的纵坐标分别为2、5、10，则A点分所得的比为

A.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.

C.－　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.－

解析：设A点分所得的比为λ，则由2=，得λ=－.

答案：C

2.(2004年湖北八校第二次联考)将抛物线y²=4x沿向量a平移得到抛物线y²－4y=4x，则向量a为

A.(－1，2)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.(1，－2)

C.(－4，2)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.(4，－2)

解析：设a=(h，k)，由平移公式得

代入y²=4x得

(－k)²=4(－h)，²－2k=4－4h－k²，

即y²－2ky=4x－4h－k²，

∴k=2，h=－1.

∴a=(－1，2).

答案：A

思考讨论

本题不用平移公式代入配方可以吗?

提示：由y²－4y=4x，配方得

(y－2)²=4(x+1)，

∴h=－1，k=2.(知道为什么吗?)

1.(2004年东北三校联考题)若将函数y=f(x)的图象按向量a平移，使图象上点的坐标由(1，0)变为(2，2)，则平移后的图象的解析式为

A.y=f(x+1)－2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.y=f(x－1)－2

C.y=f(x－1)+2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.y=f(x+1)+2

解析：由平移公式得a=(1，2)，则平移后的图象的解析式为y=f(x－1)+2.

答案：C

3.定比分点的应用：利用定比分点可证共线问题.

●点击双基

2.定比分点的向量表达式：

P点分成的比为λ，则=+(O为平面内任一点).

1.定比分点的定义：点P为所成的比为λ，用数学符号表达即为=λ.当λ＞0时，P为内分点；λ＜0时，P为外分点.