19. (本小题满分13分) 已知函数的图象经过点A(1,1),B(2,3) ,及C(n,S_n),S_n为数列的前n项的和，　　 (1)　 求S_n及a_n　 (2)　 设b_n=log₂a_n-1，数列　 的前n项和为T_n ,求证：

解 (1)由 2m+t=1得　　 t= -1

　　　　　 4m+t=3　　　　 m=1　　　　　　　　　　　　 2分

所以 f(x)=2^x -1　 则 S_n=2ⁿ -1　 　　　　　　　　　4分

当

当n=1时，a₁=S₁=1满足上式，所以a_n=2^n-1 ()　　　　 6 分

(2)证明：因为b_n=log₂a_n-1=n-2

所以 　　　　　　　　　　　　8分

所以 ，当n≥4时，　　　　 10分

所以　 13分

20(本小题满分13分)

在一次数学实践活动课上，老师给一个活动小组安排了这样的一个任务：设计一个方案，将一块边长为4米的正方形铁片，通过裁剪、拼接的方式，将它焊接成容积至少有5立方米的长方体无盖容器(只有一个下底面和侧面的长方体).该活动小组接到任务后，立刻设计了一个方案，如下图所示，按图1在正方形铁片的四角裁去四个相同的小正方形后，将剩下的部分焊接成长方体(如图2).请你分析一下他们的设计方案切去边长为多大的小正方形后能得到的最大容积，最大容积是多少？是否符合要求？若不符合，请你帮他们再设计一个能符合要求的方案，简单说明操作过程和理由.

解：(1)设切去正方形边长为x，则焊接成的长方体的底面边长为4－2x，高为x ，

所以V₁= (4－2x)²·x = 4(x³－4x² + 4x)　 (0<x<2) ．……….. ……….. ………..　　　　　 4分

∴V₁^/ = 4(3x²－8x + 4)，……….. ……….. ……….. ……….. ……….. ………. ….5分

令V₁^/ = 0，即4(3x²－8x + 4) = 0，解得x₁ = ，x₂ = 2 (舍去) ．……….. ………7分

∵　 V₁在(0，2)内只有一个极值，　　

∴ 当x = 时，V₁取得最大值．<5,即不符合要求. ….…. …. 9分

(2)重新设计方案如下：

如图①，在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形；如图②，将切下的小正方形焊在未切口的正方形一边的中间；如图③，将图②焊成长方体容器.新焊长方体容器底面是一个长方形，长为3，宽为2，此长方体容积V₂ = 3×2×1 = 6，显然V₂>5．

故第二种方案符合要求．

　　　　　 图①　　　　　　　　　　　 图②　　　　　　　　　　　　 图③

　…. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. ….13分

注：第二问答案不唯一。

21(本小题满分13分)

已知函数(为实常数).

(Ⅰ) 若,求证:函数在上是增函数;

(Ⅱ) 若存在x∈[1,e]，使得≤成立,求实数的取值范围.

(Ⅲ) 求函数在[1,e]上的最小值及相应的x值；

解:(Ⅰ)当时，，当，，

故函数在上是增函数．………………………………………………………………………2分

(Ⅱ) 不等式，　 可化为．∵,

∴且等号不能同时取，所以，即，因而()…　 4 分

令()，又……………………………………

当时，，，…………………………………………………6分

从而(仅当x=1时取等号)，所以在上为增函数　 ………………………………

故的最小值为，所以实数的取值范围是……………………………………8分

(Ⅲ) ，当，.………………………………

若，在上非负(仅当，时，)，故函数在上是增函数，此时． …………………………………………9分

若，当时，；当时，，此时是减函数； 当时，，此时是增函数．故…　　　 11…分

若，在上非正(仅当，时，)，故函数在上是减函数，此时． …………………………………………………………12分…

综上可知，当时，的最小值为1，相应的x值为1；

当时,的最小值为,相应的x值为；

当时，的最小值为，相应的值为……………………………………………13分

18. 在中，内角A、B、C对边的边长分别是a、b、c，已知c=2，

(1)若的面积等于，求a、b；(2)若sinC+sin(B-A)=2sin2A,求的面积

解 由余弦定理及已知条件得 　　　　　　①　　　　　 2分

　 又面积 得ab=4　　　　 　②　　　　　 4分

由①②得a=2,b=2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6分

(2) 由题意得sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA

即 sinB cosA=2sinAcosA　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　8分

当cosA=0时，　　　　　　　　　 10分

当cosA≠0时，将sinB =2sinA，由正弦定理得b=2a与①联立解得

所以　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12分

16　 (本题满分12分)

已知向量m=(cosθ,sinθ)和n=(-sinθ,cosθ),θ∈［π,2π］.

(1)求|m+n|的最大值；

(2)当|m+n|=时,求cos()的值.

解：(1)m+n=(cosθ-sinθ+,cosθ+sinθ),

|m+n|=

=　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2分

=

=2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分

∵θ∈［π,2π］,∴,∴cos(θ+)≤1,|m+n|_max=2.　　　　 6分

(2)由已知|m+n|=,得cos(θ+)=.　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8分

又cos(θ+)=2cos²()-1,∴cos²()=,　　　　　　　　　　　　　　 10分

∵θ∈［π,2π］,∴,∴cos(.　　　　　　　　　 12分

17．(本小题满分12分)

　　 已知命题：“函数在上存在零点”； 命题：“只有一个实数满足不等式”，若命题或是假命题，求实数的取值范围．

解：函数在上存在零点

∴方程有解

显然或　　　　　 ……………………………………2分

∵，故或

∴　　　　　　　　　　　　　　 ……………………………………4分

只有一个实数满足即抛物线与x轴只有一个交点

∴ 　或　 ……………………………………8分

∴命题或为真命题时，或

∵命题或为假命题

∴的取值范围为……………………………………12分

12.　　3或4.236　　　　　　 13.　　2　　　　　 　　　　14. 　

15 　　 _- 1　 　　　　

9.　　4，63　　　　 　　　　 10.　　(1,-1)　 　　　　　 11.　　　　 　　　

19. (本小题满分13分) 已知函数的图象经过点A(1,1),　 B(2,3) ,及

C(n,S_n),S_n为数列的前n项的和，　

(1)　 求S_n及a_n

(2) 设b_n=log₂a_n-1，数列　 的前n项和为T_n ,求证：

20(本小题满分13分)

在一次数学实践活动课上，老师给一个活动小组安排了这样的一个任务：设计一个方案，将一块边长为4米的正方形铁片，通过裁剪、拼接的方式，将它焊接成容积至少有5立方米的长方体无盖容器(只有一个下底面和侧面的长方体).该活动小组接到任务后，立刻设计了一个方案，如下图所示，按图1在正方形铁片的四角裁去四个相同的小正方形后，将剩下的部分焊接成长方体(如图2).请你分析一下他们的设计方案切去边长为多大的小正方形后能得到的最大容积，最大容积是多少？是否符合要求？若不符合，请你帮他们再设计一个能符合要求的方案，简单说明操作过程和理由.

21(本小题满分13分)

已知函数(为实常数).

(Ⅰ) 若,求证:函数在上是增函数;

(Ⅱ) 若存在x∈[1,e]，使得≤成立,求实数的取值范围；

(Ⅲ) 求函数在[1,e]上的最小值及相应的x值。

2009年下学期期中考试三校联考高三年级数学科考试参考答案和评分标准

18. (本小题满分12分) 在中，内角A、B、C对边的边长分别是a、b、c，已知c=2，

(1)若的面积等于，求a、b；

(2)若sinC+sin(B-A)=2sin2A,求的面积

17．(本小题满分12分)

　　 已知命题：“函数在上存在零点”； 命题：“只有一个实数满足不等式”，若命题或是假命题，求实数的取值范围．

16．(本题满分12分)

已知向量m=(cosθ,sinθ)和n=(-sinθ,cosθ),θ∈［π,2π］.

(1)求|m+n|的最大值；(2)当|m+n|=时,求cos()的值.

15.已知定义在上的奇函数的图象关于直线对称，，则的值为________