22. (本小题满分10分)

在四棱锥中，平面，底面为正方形，且，为的中点，，问是否存在使？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

21.［选做题］在A、B、C、D四小题中只能选做2小题，每小题10 分，共计20分.请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

A.(选修4－1：几何证明选讲)

在△ABC中，已知CM是∠ACB的平分线，△AMC的外接圆交BC于点N．若AC=AB，

求证：BN=2AM．

A证明：如图，在△ABC中，因为CM是∠ACM的平分线,

　所以．又已知，

所以…①…………………… 4分

又因为BA与BC是圆O过同一点B的弦，

所以，即……②　　　　 ………………………8分

由①、②可知，，所以BN=2AM．　　　　　　 ………………10分

B.(选修4－2：矩阵与变换)

设a,b∈R，若矩阵A=把直线l：2x+y一7=0变换为另一直线：9x+y一91=0,试

求a,b的值.

B　 解：取上两点(0,7)和(3.5，0)，　　 …………………………………2分

则，，　　 ………………6分

由题意知在直线：9x+y－91＝0上，

∴　 ……………………………………………8分

解得　 　　　　　…………………………………………10分

C.(选修4－4：坐标系与参数方程)

在平面直角坐标系xOy中，动圆(R)的

圆心为 ，求的取值范围..

C.解：由题设得(为参数，R). …………………………5分

于是，

所以 .　　　　　　　　　　　　 ……………10分

D.(选修4－5：不等式选讲)

已知实数的最大值为7，求a的值

D.解：. ……………………4分

因为，所以，即.　

因为的最大值是,所以，得，

当时，取最大值，所以.　 …………10分

［必做题］第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .

20．解:(Ⅰ)(1)　

当时，上为增函数　

故　　

当上为减函数

故　

即.

.

(Ⅱ)方程化为

，令，

∵　 ∴　　 记

∴　　 ∴　　

(Ⅲ)方程化为

，

令， 则方程化为 ()

∵方程有三个不同的实数解，

∴由的图像知，

有两个根、，

且　 或 ，　　　　　　　　　　

记

则　 或　

∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

附加题部分

(满分40分，考试时间30分钟)

20. (本小题满分16分)已知函数，在区间上有最大值4，最小值1，设．

(Ⅰ)求的值；

(Ⅱ)不等式在上恒成立，求实数的范围；

(Ⅲ)方程有三个不同的实数解，求实数的范围．

19. 解：(1)设切去正方形边长为x，则焊接成的长方体的底面边长为4－2x，高为x ，

所以V₁= (4－2x)²·x = 4(x³－4x² + 4x)　 (0<x<2) ．……….. ………..2

∴V₁^/ = 4(3x²－8x + 4)，……….. ……….. ……….. 3

令V₁^/ = 0，即4(3x²－8x + 4) = 0，解得x₁ = ，x₂ = 2 (舍去) ．--------4

∵　 V₁在(0，2)内只有一个极值，

∴ 当x = 时，V₁取得最大值．<5,即不符合要求. ….…. …. 6

(2)重新设计方案如下：

如图①，在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形；如图②，将切下的小正方形焊在未切口的正方形一边的中间；如图③，将图②焊成长方体容器.新焊长方体容器底面是一个长方形，长为3，宽为2，此长方体容积V₂ = 3×2×1 = 6，显然V₂>5．

故第二种方案符合要求．

　　　　　 图①　　　　　　　　　　　 图②　　　　　　　　　　　　 图③

　…. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. ….12

注：第二问答案不唯一。

19. (本小题满分15分)在一次数学实践活动课上，老师给一个活动小组安排了这样的一个任务：设计一个方案，将一块边长为4米的正方形铁片，通过裁剪、拼接的方式，将它焊接成容积至少有5立方米的长方体无盖容器(只有一个下底面和侧面的长方体).该活动小组接到任务后，立刻设计了一个方案，如下图所示，按图1在正方形铁片的四角裁去四个相同的小正方形后，将剩下的部分焊接成长方体(如图2).请你分析一下他们的设计方案切去边长为多大的小正方形后能得到的最大容积，最大容积是多少？是否符合要求？若不符合，请你帮他们再设计一个能符合要求的方案，简单说明操作过程和理由.

18.解：(1)由题设可得，

解得，所以 ．

所以 椭圆的方程为．

(2)设，则．

因为 ，所以 ．所以 ．所以 点在以为圆心，2为半径的的圆上．即点在以为直径的圆上．

(3)设，则，且．

又，所以 直线的方程为．

令，得．又，为的中点，所以 ．

所以 ，．

所以

．

所以 ．所以 直线与圆相切．

18. (本小题满分16分)如图，已知椭圆：的长轴长为4，离心率，为坐标原点，过的直线与轴垂直．是椭圆上异于、的任意一点，轴，为垂足，延长到点使得，连结延长交直线于点，为的中点．

(1)求椭圆的方程；

(2)证明点在以为直径的圆上；

(3)试判断直线与圆的位置关系．

17．解：(1)设数列的公差为， 由，得，

得．…………………………………………………………………2分

由数列的前和为可知，当时，，

当时，， 当时，得，

故数列的通项公式为,的通项公式为．………………………………6分

(2)假设存在正整数使不等式成立，即要满足,

由，，

所以数列单调减，数列单调增，…………………………8分

①当正整数时，，所以不成立；……………10分

②当正整数时，，

所以成立；…………………………………………12分

③当正整数时，，

所以不成立.　　　　　　　　　　　　　　　

综上所述，存在正整数时，使不等式成立.………………14分

17、(本题满足14分)已知等差数列满足：。数列的前n项和为

(1)求数列和的通项公式；

(2)令，试问：是否存在正整数n，使不等式成立？若存在，求出相应n的值；若不存在，请说明理由。