3.设则

2．在复平面内，是原点，，，表示的复数分别为，

那么表示的复数为______________.

1．复数的共轭复数是_________

12．

答案：m⊥α，n⊥β，α⊥βm⊥n或m⊥n，m⊥α，n⊥βα⊥β

11．

图(1)

图(2)

答案：②③

解析：∵面BFD1E⊥面ADD1A1，所以四边形BFD1E在面ADD1A1上的射影是③，同理，在面BCC1B1上的射影也是③。

过E、F分别作DD1和CC1的垂线，可得四边形BFD1E在面DCC1D1上的射影是②，同理在面ABB1A1，面ABCD和面A1B1C1D1上的射影也是②。

(2)

解析：要使命题B与命题A等价，则只需保证顶点在底面上的射影S是底面正三角形的外心即可，因此，据射影定理，得侧棱长相等。

10．

解析：⑴在中，、分别是边、的中点，∴∥，

在中，、分别是边、的中点，∴∥，

　　 ∴∥且，

同理：∥且，

∵，∴，

∴四边形为菱形，∴。

⑵∵∥，∥，

∴(或的补角)即为异面直线与所成的角，

由已知得：(或)，

∴四边形的面积为：。

9．

解析：分别取、

中点、，连

结(图⑴)。

连结、(图

⑵)

∵，

为公共边，，

∴≌　 ∴

∵点为中点　 ∴　 同理：(图⑶)

又，，

∴即为异面直线与的公垂线段

如图⑵，在中，，，，

∴ ∴异面直线与的距离。

点评：求异面直线的距离，必须先找到两条异面直线的公垂线段。

8．

证明：(1)如图2所示，∵A1B1C1-ABC是正三棱柱，

∴四边形B1BCC1是矩形。

连结B1C，交BC1于E，则BE=EC。

连结DE，在△AB1C中，∵AD=DC，

∴DE∥AB1，又因为AB1平面DBC1，DE平面DBC1，∴AB1∥平面DBC1。

(2)作AF⊥BC，垂足为F。因为面ABC⊥面B1BCC1，

∴AF⊥平面B1BCC1。连结B1F，则B1F是AB1在平面B1BCC1内的射影。

∵BC1⊥AB1，∴BC1⊥B1F。

∵四边形B1BCC1是矩形，∴∠B1BF=∠BCC1=90°，又∠FB1B=∠C1BC，∴△B1BF∽△BCC1，则==。

又F为正三角形ABC的BC边中点，因而B1B2=BF·BC=1×2=2。

于是B1F2=B1B2+BF2=3，∴B1F=，即线段AB1在平面B1BCC1内的射影长为。

7．

证明：∵ 面，∴ ，

∵ 为正方形，∴ ，

∵ 与相交，∴ 面，面，

∴ ．

由已知面，且面，

∴ ，

∵ ，∴　面，面，∴ ，

即 为点在直线上的射影，

同理可证得为点在直线上的射影。

(2)

解法1：(Ⅰ)连AC，设AC与BD相交于点O,AP与平面相交于点，连结OG，

因为PC∥平面，平面∩平面APC＝OG，

故OG∥PC，所以OG＝PC＝。

又AO⊥BD,AO⊥BB1，所以AO⊥平面，

故∠AGO是AP与平面所成的角。

在Rt△AOG中，tanAGO＝，即m＝。

所以，当m＝时，直线AP与平面所成的角的正切值为。

(Ⅱ)可以推测，点Q应当是AICI的中点O1，

因为D1O1⊥A1C1, 且 D1O1⊥A1A ，所以 D1O1⊥平面ACC1A1，

又AP平面ACC1A1，故 D1O1⊥AP。

那么根据三垂线定理知，D1O1在平面APD1的射影与AP垂直。

6．

(Ⅰ)证法一：连接AC。

∵正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是正方形。

∴AC⊥BD，又AC⊥D1D，故AC⊥平面BDD1B1

∵E，F分别为AB，BC的中点，故EF∥AC，∴EF⊥平面BDD1B1

∴平面B1EF⊥平面BDD1B1。

证法二：∵BE=BF，∠EBD=∠FBD=45°，∴EF⊥BD.

∴平面B1EF⊥平面BDD1B1。

(Ⅱ)解：在对角面BDD1B1中，作D1H⊥B1G，垂足为H

∵平面B1EF⊥平面BDD1B1，且平面B1EF∩平面BDD1B1=B1G，

∴D1H⊥平面B1EF，且垂足为H，∴点D1到平面B1EF的距离d=D1H。

解法一：在Rt△D1HB1中，D1H=D1B1·sinD1B1H，

∵D1B1=A1B1=4，

sinD1B1H=sinB1GB=，

∴d=D1H=4·

解法二：∵△D1HB∽△B1BG，∴

∴d=D1H=。

解法三：如图所示，连接D1G，则三角形D1GB1的面积等于正方形DBB1D1面积的一半.即B1G·D1H=BB12。

∴d=。

(Ⅲ)·d·.