定义是知识的生长点，因此回归定义是解决问题的一种重要策略。

例题1.已知P为抛物线上任一动点，记点P到轴的距离为，对于给定点A(4，5)，|PA|+d的最小值是(　 )

A、4　 　B、　 C、　　 D、

(提示：比P到准线的距离(即|PF|)少1，

∴|PA|+d=|PA|+|PF|-1，而A点在抛物线外，　　

∴|PA|+d的最小值为|AF|-1=，选(D)

解题的本质就是转化，能够转化下去就能够解下去。至于怎样转化，要通过必要的训练，达到见识足、技能熟的境界。在解有关排列组合的应用问题中这一点显得尤其重要。

例题1.若，则(　 )。

　 　A、　 B、　 C、　 D、

(提示：利用换底公式等价转化。

∴，选B)

包括逐一验证法--将选项逐一代入条件中进行验证，或者逻辑排除法，即通过对四个选项之间的内在逻辑关系进行排除与确定。

包括选取符合题意的特殊数值、特殊位置和特殊图形，代入或者比照选项来确定答案。这种方法叫做特值代验法，是一种使用频率很高的方法。

例题1.在各项均为正数的等比数列中，若，则(　 )　 A、12　　　　 B、10　　　　 C、8　　　　 D、

[解析]思路一(小题大做)：由条件有，从而

　所以原式=

思路二(小题小做)：由知原式=

思路三(小题巧做)：取一个满足条件的特殊数列即可，选B。

练习1.若，则下列命题中正确的是(　　 )

A、　 B、　 C、　 D、

(提示：取验证即可，选B)

画出图形或者图象能够使问题提供的信息更直观地呈现，从而大大降低思维难度，是解决数学问题的有力策略，这种方法使用得非常之多。

例题1.若P(2，-1)为圆的弦AB的中点，则直线AB的方程是(　　 )

A、　 B、 C、 D、

(提示：画出圆和过点P的直线，再看四条直线的斜率，即可知选A)

练习1.已知变量、满足约束条件，则的取值范围是(　　 )

A、　 B、　 C、　 D、

(提示：把看作可行域内的点与原点所在直线的斜率，不难求得答案 ，选A。)

练习2.若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线的倾斜角的取值范围是(　 )

A、　 B、　 C、　 D、

(提示：数形结合，先画出圆的图形。圆方程化为

，由题意知，圆心到直线

的距离应该满足，在已知圆中画一个半

径为的同心圆，则过原点的直线与小圆有公共点，∴选B。)

练习3.方程的解的取值区间是(　 )

A、(0，1)　 B、(1，2)　 C、(2，3)　 D、(3，4)

(提示：数形结合，在同一坐标系中作出函数的图象，则立刻知选B，如上右图)

前　 言

高考数学选择题，知识覆盖面宽，概括性强，小巧灵活，有一定深度与综合性，而且分值大，能否迅速、准确地解答出来，成为全卷得分的关键。

选择题的解答思路不外乎两条：一是直接法，即从题干出发，探求结果，这类选择题通常用来考核考生最起码的基础知识和基本技能，这一般适用于题号在前1~6的题目；二是间接法，即从选项出发，或者将题干与选项联合考察而得到结果。因为选择题有备选项，又无须写出解答过程，因此存在一些特殊的解答方法，可以快速准确地得到结果，这就是间接法。这类选择题通常用来考核考生的思维品质，包括思维的广阔性和深刻性、独立性和批判性 、逻辑性和严谨性 、灵活性和敏捷性 以及创造性；同直接法相比，间接法所需要的时间可能是直接法的几分之一甚至几十分之一，是节约解题时间的重要手段。

然而，有相当一部分考生对于用间接手段解题并不放心，认为这样做“不可靠”，以至于在用间接法做过以后又用直接法再做一遍予以验证；甚至有思想不解放的，认为这样做“不道德”，而不明白这其实正是高考命题者的真实意图所在，高考正是利用选择题作为甄别不同层次思维能力的考生的一种重要手段。

解选择题常见的方法包括数形结合、特值代验、逻辑排除、逐一验证、等价转化、巧用定义、直觉判断、趋势判断、估计判断、退化判断、直接解答、现场操作，等等。考生应该有意识地积累一些经典题型，分门别类，经常玩味，以提高自己在这方面的能力。下面主要就间接法分别举例说明之，并配备足够的对应练习题，每题至少提供有一种解法。

例题与题组

(九)定序问题--除法处理

示例91：从1，2，3，……，9九个自然数中任取三个数组成有序数组a,b,c,且a<b<c，则有多少个不同的数组？答案： 84

示例92：由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数小于十位数字的共有多少个？答案：300。

《统计、概率、随机变量及其分布》

96．抽样方法：

⑴简单随机抽样：一般地，设一个总体的个数为N，通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量

为n的样本，且每个个体被抽到的机会相等，就称这种抽样为简单随机抽样。

注：①每个个体被抽到的概率为；

②常用的简单随机抽样方法有：抽签法；随机数表法。

⑵系统抽样：当总体个数较多时，可将总体均衡的分成几个部分，然后按照预先制定的规则，从

每一个部分抽取一个个体，得到所需样本，这种抽样方法叫系统抽样。

注：步骤：①编号；②分段；③在第一段采用简单随机抽样方法确定起始的个体编号；④按预

先制定的规则抽取样本。

⑶分层抽样：当已知总体有差异比较明显的几部分组成时，为使样本更充分的反映总体的情况，

将总体分成几部分，然后按照各部分占总体的比例进行抽样，这种抽样叫分层抽样。

注：每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数

注:以上三种抽样的共同特点是：在抽样过程中每个个体被抽取的概率相等

97．频率分布直方图与茎叶图：⑴用直方图反映样本的频率分布规律的直方图称为频率分布直方图。⑵当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边像植物茎上长出来的叶子，这种表示数据的图叫做茎叶图。

98．总体特征数的估计：

⑴样本平均数；

⑵样本方差 ；

⑶样本标准差=

99．★★★事件的关系：

⑴事件B包含事件A：事件A发生，事件B一定发生，记作；

⑵事件A与事件B相等：若，则事件A与B相等，记作A=B；

⑶并(和)事件：某事件发生，当且仅当事件A发生或B发生，记作(或)；

⑷并(积)事件：某事件发生，当且仅当事件A发生且B发生，记作(或)　 ；

⑸事件A与事件B互斥：若为不可能事件()，则事件A与互斥；

⑹对立事件：为不可能事件，为必然事件，则A与B互为对立事件。

100．概率公式：

⑴互斥事件(有一个发生)概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B)；

⑵古典概型：；

⑶几何概型： 。

101．★★★注意格式规范严谨，必须配上适当的文字解答，用一些字母来表示事件。

102．★★★公式中，事件必须是互斥事件；公式中，事件必须是独立事件；如果不是，要弄清表示的事件的含义(中至少有一个要发生)，表示的事件的含义(同时发生)，再去求。

103．★★★①互斥事件、有一个发生的概率：；个互斥事件中

有一个发生的概率：；②、是两个任

意事件，则.

104．★★★相互独立事件、同时发生的概率：；个相互独立事

件同时发生的概率：．

105．求分布列，做完后，要检验它们的概率和是否为1，如果不是，要重新检查修订。

106．注意识别超几何分布和二项分布，然后用公式。

《算法初步》

《空间几何体》

107．★★★三视图：画三视图要求：正视图与俯视图长对正；正视图与侧视图高平齐；侧视图与俯视图宽相等。三视图，被遮住的部分用虚线，看得见的部分用实线。

108．位置关系的证明(主要方法)：

⑴直线与直线平行：①公理4；②线面平行的性质定理；③面面平行的性质定理。

⑵直线与平面平行：①线面平行的判定定理；②面面平行线面平行。

⑶平面与平面平行：①面面平行的判定定理及推论；②垂直于同一直线的两平面平行。

⑷直线与平面垂直：①直线与平面垂直的判定定理；②面面垂直的性质定理。

⑸平面与平面垂直：①定义----两平面所成二面角为直角；②面面垂直的判定定理。

109.空间两个向量的夹角公式:，其中，.　　　

110. 空间角和距离的公式不要记错，要记准。

①异面直线所成的角的(注意异面直线所成的角只能是锐角或直角)

②★★★直线和平面所成的角的

③二面角的平面角(注意先通过观察选择号)★★★

④点到平面的距离

111．★★★各种角的范围：

　(1)两个向量的夹角

(2)直线的倾斜角　　　　　　

两条相交直线的夹角

(3) 两条异面线所成的角 　　　直线与平面所成的角

斜线与平面所成的角 　　　二面角

112．图形的分解、组合是立几命题的新思路，学会平面到空间、空间到平面的转化.

《创新题》

　　　　 　　三、 ★★★“一般问题特殊化”思想方法专题训练

示例1：(2011年西城一模7)已知曲线及两点和，其中.过，分别作轴的垂线，交曲线于，两点，直线与轴交于点，那么(　 A　 )

(A)成等差数列　　　　　 (B)成等比数列

(C)成等差数列　 　　　　　(D)成等比数列

温馨提醒：解法1(特殊化思想方法)取，，求出、的坐标(1，1)、。

则直线的方程为，令y=0，求得，故选A。

解法2：通过证两三角形相似得到的关系。

示例2：过抛物线的焦点作一条直线交抛物线于，则为(　　　 )　 (A)4　　 (B)－4　　　　　 (C)　　　　　　 (D)

正解：B。　 特例法：当直线垂直于轴时，

注意：先分别求出用推理的方法，既繁且容易出错。

示例3：(2011年东城一模4)已知平面上不重合的四点，，，满足，

且，那么实数的值为( B　 )(A)　 (B)　 (C)　 (D)

注：提供三种方法给大家。

解法1：(向量加法的几何意义)

故=3.

解法2：(特殊化思想方法)画图以P为坐标原点，建立平面直角坐标系，并令，

，故。然后求出的坐标(-3，0)及的坐标(-1，0)。

解法3：画三个向量，相互间的夹角为120度。

示例4：在ABC中，角A．B．C所对的边分别为a．b．c，如果a．b．c成等差数列，则　 　

　　　　　 。

答案: 解法一：取特殊值a＝3, b＝4, c＝5 ,则cosA＝cosC＝0, ．

解法二：取特殊角A＝B＝C＝60⁰　 cosA＝cosC＝,．

示例5：若是直角三角形的三边的长(为斜边)，则圆被直线

所截得的弦长为　　　　　　 。答案:.

方法一：取，确定一条唯一的直线方程后再具体计算。

方法二：直接计算。注意到：。

示例6：(2011年朝阳一模7)如图，双曲线的中心在坐标原点， 分别是双曲线虚轴的上、下顶点，是双曲线的左顶点，为双曲线的左焦点，直线与相交于点.若双曲线的离心率为2，则的余弦值是(　 )

　 (A)　 　　　　(B)　　

(C) 　　　　(D)

提示：设。=。的值易求。

示例7：椭圆的两焦点坐标分别为和，且椭圆过点.(1)求椭圆方程；(2)过点作不与轴垂直的直线交该椭圆于、两点，为椭圆的左顶点，试判断的大小是否为定值，并说明理由．

[解析](1)(过程略)　　　　 ……5分

(2)设直线的方程为：，

联立直线和曲线的方程可得：得

设，，。

则，

则

即可得.　　　　　　　　　　　　　　　 …………13分

温馨提醒：此题当m=0时，得：、。

所以，，。易知，

这样用特殊情况可以先求得最后的结论，做到心中有数，下面的证明就有了目标及解题方向。

(八)　 平均分组问题

示例90：将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案有多少种？答案：180。

(七)　 穷举法：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来；这种方法常用于方

法比较少的问题。

示例88：将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有多少种？

示例89：三个人踢毽，互相传递，每人每次踢一次，由甲开始路踢，经过5次传递后，毽又被路踢回给甲，则不同的传递方式共有多少种？

(六)　 捆绑法：把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”

全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列。

示例87：六个人按要求站成一排，分别有多少种不同的站法?(用数字作答，要有详细的说明过程)(1)甲不站在两端；(2)甲、乙不相邻；(3)甲在乙的左边(可以不相邻)；(4)甲、乙之间间隔两个人；(5)甲不站左端，乙不站右端.

解:(1)先排甲，有种；其余的人全排列有种，故共有=480(种)

(2)方法一：先计算甲、乙两个相邻的排法数共有=240，则甲、乙两个不相邻的方法数为-=480(种).

方法二：先排其余的四人有=24(种)，再在四个人的五个空隙中排甲、乙两人，共有=20(种)，根据分步计数原理，共有480种.

(3)在无限制的排列中，共有种，其中甲在乙的左边与甲在乙的右边的排列种数应是相同的，故共有360种排法.

(4)先从另外四人中选出两人排在甲、乙的中间有种不同的排法，所以包括甲、乙这四人的排法有种排法，将这四人看作一个整体，与另外两人全排列有种排法，根据分步计数原理可知共有=144种不同的排法.

(5)(排除法)甲站左端的排法数有种，乙站右端的排法数有种，甲站左端同时乙站右端的排法数有种，所以甲不站左端，乙不站右端的排法数为-2+=504(种).