41．★★★解一元二次不等式式时，若二次项系数含有参数，一定要注意参数为负时，“大于号取两边，小于号取中间”失效，而是刚好相反。

示例33：解关于x的不等式

解：①若，原不等式

　②若，原不等式或

　 ③若，原不等式　

　　　 其解的情况应由与1的大小关系决定，故

　　　 (1)当时，式的解集为；

　　　 (2)当时，式；

　　　 (3)当时，式.

　 综上所述，当时，解集为{}；当时，解集为{}；当时，解集为{}；当时，解集为；当时，解集为{}.

特别提醒：②若，的解集不是“取中间”，而是“取两边”

{}。

40．★★★不等式的恒成立问题与能成立(存在性)问题

①不等式的恒成立问题

若在上恒成立，等价于在上的最小值成立，若在上恒成立，等价于在上的最大值成立

对任意，都有成立的充要条件是

②不等式的能成立(存在性)问题

若在上能成立，等价于在上的最大值成立

若在上能成立，等价于在上的最小值成立。

示例30：(2011年东城区期末文18)已知函数．若对于任意，

恒成立，求实数的取值范围．

解： ．

由已知对于任意恒成立，

所以对于任意恒成立，

即 对于任意恒成立.

因为，所以(当且仅当时取“=”号)．所以的最小值为2．

由，得，所以恒成立时，实数的取值范围是．13分

示例31：(2011年东城区期末理18)已知函数．若存在(为自然对数的底数，且)使不等式成立，求实数的取值范围．

解：由题意知，则．

若存在使不等式成立，

只需小于或等于的最大值．

设，则．

当时，单调递减；

当时，单调递增．

由，，，

可得．所以，当时，的最大值为．

故．　　　　　　　

示例32：(2011年东城一模19)已知函数．证明：对任意，都有成立．

证明：由(Ⅰ)可知在时取得最小值，

又，　　 可知．

由，可得．

所以当单调递增，

当单调递减.

所以函数在时取得最大值，

又，　　　　 可知，

所以对任意，都有成立．

39．一次线性递推关系：数列满足：是常数)是最重要的递推关系式，可以看出当时，此数列是等差数列，当(时，此数列是等比数列.解决此递推的方法是通过代换(令化成等比数列求解.

示例29：已知数列满足：，求此数列的通项公式.

分析：由得：知数列是等比数列，首项为2，公比为2，所以，知.

《不等式》

38．★★★形如：+的递推数列，求通项用叠加(消项)法；形如：的递推数列，求通项用连乘(约项)法.

示例26：(2011年丰台一模14)将全体正奇数排成一个三角形数阵：

　　　 1

　　　 3　 5

　　　 7　 9　 11

　　　 13　 15　 17　 19

　　　 ……

按照以上排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为　 　　　　．答案：n²-n+5。

示例27：数列满足，求数列的通项公式.

分析：解决这种递推数列的思想方法实质上是等差、等比数列求通项公式的思想方法.等差数列的基本递推关系：，等比数列的递推关系：.

由题知：相加得：，又，所以，而满足此式，则.

示例28：已知数列的通项公式为，，，则=　　　 .

答案：。

37．等差数列当首项且公差，前n项和存在最大值.当首项且公差，前n项和存在最小值.求等差数列前项和的最值可以利用不等式组来确定的值；也可以利用等差数列的前项的和是的二次函数(常数项为0)转化成函数问题来求解.

示例24：若是等差数列，首项，则(1)使前项和最大的自然数是＿＿；(2)使前项和的最大自然数　　　 ；

分析：由条件可以看出，可知最大，则使最大的自然数为2006；由知，，，所以，则使的最大自然数为4012.

示例25：在等差数列中，满足且是数列前项的和.若取得最大值，则＿＿＿＿＿.

分析：首项、公差(比)是解决等差(比)数列的最基本出发点.等差(比)数列的运算多可以通过首项与公差(比)来解决.由知，则.当时，当时，所以.

36．在等差数列中，若，则；在等比数列中，若，则等差(等比)数列中简化运算的技巧多源于这条性质.

示例23：数列是等比数列，，且公比为整数，则的值为＿＿＿＿＿＿＿.

分析：由得或，又此数列的公比为整数，所以公比，则.

35．等比数列中，同号。

34．★★★已知数列的前项和，求数列的通项公式时，要注意分段.当满足时，才能用一个公式表示.

示例22：已知数列的前项和.若是等差数列，求的通项公式.

分析：证明一个数列是等差数列或是等比数列，要从等差、等比数列的定义出发.等差、等比数列的性质不能作为证明的理由.

由知，时，，当时，

.当时，，而.若数列是等差数列，则，所以.则.

33．数列是等比数列，其前项的和是关于的分段函数，在求和过程中若公比不是具体数值时，则要进行讨论.

32．在△ABC中：；，

，，等常用的结论须记住.三角形三内角A、B、C成等差数列，当且仅当.

示例20：(1)已知△ABC三边成等差数列，求B的范围；(2)已知△ABC三边成等比数列，求角B的取值范围.

分析：(1)由△ABC的三边成等差数列，则，，消去化得.所以.

(2)同样可以求得.

示例21：在△ABC中，若，则△ABC的形状一定是(　)

A、等腰直角三角形；　B、直角三角形；　C、等腰三角形；　D、等边三角形.

分析：在三角形ABC中：，则.所以△ABC是等腰三角形.

《数列》