创新课时作业本九年级数学苏科版
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7. 若关于x的方程$x^{2}+3x+a=0$有一个根为1,则另一个根为（
A
）
A. -4
B. 2
C. 4
D. -3
答案：A
解析：设方程的另一个根为$x_1$，根据韦达定理，两根之和为$-3$，即$1 + x_1=-3$，解得$x_1=-4$。
8. 若方程$2x^{2}+x-2m+1=0$有一正实根和一负实根,则m的取值范围是（
B
）
A. $m\geq\frac {7}{16}$
B. $m＞\frac {1}{2}$
C. $m＞\frac {7}{16}$
D. $m\geq\frac {1}{2}$
答案：B
解析：方程有一正一负实根，根据韦达定理，两根之积小于0，即$\frac{-2m + 1}{2}＜0$，解得$m＞\frac{1}{2}$。
9. 若$x_{1}$、$x_{2}$是关于x的方程$x^{2}-2x-m^{2}=0$的两根,下列结论中不一定正确的是（
B
）
A. $x_{1}+x_{2}＞0$
B. $x_{1}\cdot x_{2}＜0$
C. $x_{1}\neq x_{2}$
D. 方程必有一正根
答案：B
解析：A. 由韦达定理得$x_1 + x_2=2＞0$，正确；B. $x_1x_2=-m^2\leq0$，当$m = 0$时，$x_1x_2=0$，错误；C. 判别式$\Delta=4 + 4m^2＞0$，所以$x_1\neq x_2$，正确；D. 两根之和为2，之积为$-m^2$，若$m\neq0$，两根一正一负；若$m = 0$，方程为$x^2-2x=0$，根为0和2，必有一正根，正确。
10. 一个等腰三角形的一边为4,另外两边为$x^{2}-12x+m=0$的两根,则m的值为（
B
）
A. 32
B. 36
C. 32或36
D. 不存在
答案：A
解析：若4为腰长，则方程有一根为4，代入方程得$16-48 + m=0$，$m = 32$，另一根为$12-4 = 8$，此时三边长4，4，8，不满足三角形三边关系；若4为底边，则方程两根相等，判别式$\Delta=144-4m = 0$，$m = 36$，两根为6，6，三边长4，6，6，满足三角形三边关系，所以$m = 36$。
11. 若一元二次方程$2x^{2}-4x-1=0$的两根为$x_{1}$、$x_{2}$,则$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=$
5
.
答案：3
解析：由韦达定理得$x_1 + x_2=2$，$x_1x_2=-\frac{1}{2}$，则$x_1^2 + x_2^2=(x_1 + x_2)^2-2x_1x_2=4 + 1=5$。
12. 以$\sqrt {3}+1$和$\sqrt {3}-1$为两根的一元二次方程是
$x^2-2\sqrt{3}x + 2 = 0$
.
答案：$x^2-2\sqrt{3}x + 2 = 0$
解析：两根之和为$2\sqrt{3}$，两根之积为$(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)=2$，方程为$x^2-2\sqrt{3}x + 2 = 0$。
13. 若一元二次方程$x^{2}+2x-2025=0$的两个根分别为m、n,则代数式$m^{2}+3m+n$的值为
2023
.
答案：2023
解析：因为m是方程的根，所以$m^2 + 2m-2025 = 0$，即$m^2=-2m + 2025$，则$m^2 + 3m + n=-2m + 2025 + 3m + n=m + n + 2025$，由韦达定理得$m + n=-2$，所以原式$=-2 + 2025=2023$。
14. 已知矩形ABCD两边AB、BC的长是关于x的方程$x^{2}-2mx+4m-4=0$的两个实数根.
(1)当m为何值时,矩形ABCD是正方形；
(2)若AB的长为4,求矩形ABCD的周长.
答案：(1)m=2
解析：正方形时$AB = BC$，方程有两个相等实根，判别式$\Delta=4m^2-4(4m - 4)=0$，即$m^2-4m + 4 = 0$，$(m - 2)^2=0$，解得$m = 2$。
(2)10
解析：将$x = 4$代入方程得$16-8m + 4m-4 = 0$，$-4m + 12 = 0$，$m = 3$，方程为$x^2-6x + 8 = 0$，另一根为2，周长为$2×(4 + 2)=12$。
15. 已知关于x的方程$x^{2}+(k+3)x+\frac {k^{2}}{4}=0$有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围.
(2)若方程两根为$x_{1}$、$x_{2}$,那么是否存在实数k,使得等式$x_{1}x_{2}+x_{1}+x_{2}=0$成立？若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
答案：(1)$k＞-\frac{3}{2}$
解析：判别式$\Delta=(k + 3)^2 - k^2=6k + 9＞0$，解得$k＞-\frac{3}{2}$。
(2)存在，k=6
解析：由韦达定理得$x_1 + x_2=-(k + 3)$，$x_1x_2=\frac{k^2}{4}$，代入等式得$\frac{k^2}{4}-(k + 3)=0$，$k^2-4k - 12 = 0$，解得$k = 6$或$k=-2$，又$k＞-\frac{3}{2}$，所以$k = 6$。
