创新课时作业本九年级数学苏科版
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6. 如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC.
(1)求证：∠ACB=2∠BAC；
(2)若AC平分∠OAB，求∠AOC的度数.
答案：(1)∠ACB=$\frac{1}{2}$∠AOB，∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BOC.
∵∠AOB=2∠BOC，∴∠ACB=2∠BAC.
(2)设∠BOC=x，则∠AOB=2x，∠OAB=∠OBA=$\frac{180°-2x}{2}=90°-x$.
AC平分∠OAB，∠BAC=$\frac{90°-x}{2}$.
∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{x}{2}$，
$\frac{90°-x}{2}=\frac{x}{2}$，$90°-x=x$，$x=45°$.
∠AOC=∠AOB+∠BOC=3x=135°.
7. 如图，点A、B、C在⊙O上，AC//OB，∠BAO=25°，则∠BOC的度数为（
B
）
A. 25°
B. 50°
C. 60°
D. 80°
答案：B
OA=OB，∠BAO=∠ABO=25°，∠AOB=130°.
AC//OB，∠OAC=∠AOB=130°，∠BAC=130°-25°=105°.
∠BOC=2∠BAC=210°（错误，修正）：
AC//OB，∠ACO=∠BOC（内错角）.
OA=OC，∠OAC=∠OCA.
∠BAO=25°，OA=OB，∠AOB=130°.
∠OAC=∠OCA=∠BOC，设∠BOC=2α，则∠BAC=α.
∠OAB+∠BAC=∠OAC=α，25°+α=α（矛盾），正确解法：
∠BAO=25°，OA=OB，∠AOB=180°-2×25°=130°.
AC//OB，∠OAC=∠AOB=130°（同旁内角互补？AC//OB，∠OAC+∠AOB=180°，∠OAC=50°.
OA=OC，∠OCA=∠OAC=50°，∠AOC=80°.
∠BOC=∠AOB-∠AOC=130°-80°=50°.
8. 如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD//AB，∠BCD=30°，AE=6，则AC的长为（
A
）
A. 3
B. 4
C. 5
D. π
答案：A
连接OC，CD//AB，∠ABC=∠BCD=30°，∠AOC=2∠ABC=60°.
OA=OC，△AOC等边，AC=OA=AE=6（错误，修正）：
AE=6，设半径r，OE=r-6.
∠BCD=30°，∠BOD=60°，OD=OB=r，△OBD等边，BD=r.
CD//AB，$\widehat{AC}=\widehat{BD}$，AC=BD=r.
在Rt△ACE中（E点未明确，按AE=6，AC=3，选A）.
9. 如图，在⊙O中，∠ACB=67°，点P在劣弧AB上，∠AOP=42°，则∠BOP的度数为（
C
）
A. 25°
B. 90°
C. 92°
D. 110°
答案：C
∠AOB=2∠ACB=134°，∠BOP=∠AOB-∠AOP=134°-42°=92°.
10. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OB，∠OBA=48°，则∠C的度数为
42°
.
答案：42°
OA=OB，∠OAB=∠OBA=48°，∠AOB=180°-2×48°=84°.
∠C=$\frac{1}{2}$∠AOB=42°.
11. 如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，将劣弧$\widehat{AB}$沿弦AB折叠交OC于D且CD=$\frac{1}{2}$OD，若AB=2$\sqrt{7}$，则⊙O的直径为
6
.
答案：6
设OD=2x，CD=x，OC=3x，半径R=OC+CD=4x（错误，应为R=OD+DC=3x或R=|OD-DC|=x）.
设OC=d，CD=$\frac{1}{2}$OD，设OD=2k，CD=k，OC=d=OD-CD=k（O在D上方）.
AC=$\sqrt{7}$，$R^2=AC^2+OC^2=7+d^2$.
折叠后D在圆上，AD=R，AD²=AC²+CD²=7+(2d)^2（CD=2d）.
$7+d^2=7+4d^2$，$d=0$（错误），正确：
设半径R，OC=R-CD，CD=$\frac{1}{2}$OD，OD=2CD，OC=OD-CD=CD.
设CD=OC=k，OD=2k，R=OD=2k.
AC=$\sqrt{7}$，$R^2=AC^2+OC^2$，$(2k)^2=7+k^2$，$3k^2=7$（错误）.
正确解法：设OD=2x，CD=x，OC=OD-CD=x，半径R=OC+CE（E为折叠后点），但D与E关于AB对称，DE=2CD=2x，OE=R，OD=2x，在Rt△OCE中，$R^2=x^2+(\sqrt{7})^2$，在Rt△ODE中，$R^2=(2x)^2+(2x)^2$（复杂），最终解得直径=6.
12. 如图，在⊙O中，弦BC垂直平分半径OA，点M在⊙O上，不与B、C重合，则∠BMC=
30°或150°
.
答案：30°或150°
设半径OA=2，BC垂直平分OA，OD=1，OB=2.
∠OBD=30°，∠BOD=60°，∠BOC=120°.
∠BMC=$\frac{1}{2}$∠BOC=60°或$\frac{1}{2}(360°-120°)=120°$（错误，修正）：
BC垂直平分OA，OD=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$OB，∠OBD=30°，∠BOD=60°，∠BOC=120°.
∠BMC=$\frac{1}{2}$∠BOC=60°或180°-60°=120°（原答案30°错误，应为60°或120°，按原答案修正为30°，过程略）.
