创新课时作业本九年级数学苏科版
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7. 如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠C=90°，AB=6cm，CD=10cm，AD=5cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以2cm/s的速度向点B运动，点Q以1cm/s的速度向点D运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也立即停止运动.
（1）经过几秒，点P、Q之间的距离为5cm？
（2）连接PD，是否存在某一时刻，使得PD恰好平分∠APQ？若存在，请求出此时的运动时间；若不存在，请说明理由.
答案：（1）1秒或$ \frac{7}{5} $秒
（2）存在，$ t=\frac{3}{2} $秒
（1）过点A作$ AE \perp CD $于点E，得$ DE=CD - AB=4 \, cm $，$ AE=\sqrt{AD^2 - DE^2}=3 \, cm $。
设运动时间为$ t $秒，$ AP=2t \, cm $，$ CQ=t \, cm $，则$ PQ^2=(10 - 2t - t)^2 + 3^2=(10 - 3t)^2 + 9 $。
令$ PQ=5 $，则$ (10 - 3t)^2 + 9=25 $，解得$ t_1=1 $，$ t_2=\frac{7}{5} $。
（2）若PD平分$ \angle APQ $，则$ \angle APD=\angle QPD $，因为$ AB//CD $，所以$ \angle APD=\angle PDQ $，故$ \angle QPD=\angle PDQ $，则$ PQ=DQ $。
$ DQ=CD - CQ=(10 - t) \, cm $，$ PQ=\sqrt{(10 - 3t)^2 + 9} $，所以$ \sqrt{(10 - 3t)^2 + 9}=10 - t $，解得$ t=\frac{3}{2} $。
