14.已知椭圆x²+2y²=4，则以(1，1)为中点的弦的长度为____________.

解析：依题意设弦端点为A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂).

分别代入椭圆方程相减得此弦的斜率k==－=－.

∴此弦的方程为y=－x+.代入x²+2y²=4，

整理得3x²－6x+1=0.

∴x₁+x₂=2，x₁x₂=.

∴|AB|=·=·=.

答案：

13.(2003年北京)以双曲线－=1的右顶点为顶点，左焦点为焦点的抛物线的方程是____________.

解析：在双曲线－=1中，右顶点为(4，0)，左焦点为(－5，0).

由题设抛物线方程为y²=－2p(x－4)(p＞0)，

且满足=4－(－5)，∴p=18.

∴y²=－2×18(x－4)，

即y²=－36(x－4).

答案：y²=－36(x－4)

12.关于方程x²+2y²－ax+ay－a－1=0(a∈R)表示的椭圆，给出以下四个命题：

①椭圆的中心在一条直线上运动；

②椭圆的大小不变；

③不论a取什么值，椭圆总过两个定点；

④椭圆的离心率不变.

其中错误命题的个数是

A.3　　　　　　　 B.2　　　　　　　　 C.1　　　　　　　　 D.0

解析：椭圆方程为+=1，

故中心(，－)在直线y=－x上运动.

∴①成立.

离心率e===(定值)，故④成立.

随a的变化，与均变化，故②不成立.

椭圆方程又可写为(x²+2y²－1)+a(－x+y－1)=0.

－x+y－1=0，

由Δ=4²－4×3＞0知方程组有两组解，故③成立.

综上知只有②错误，故选C.

答案：C

11.P是双曲线－=1(a＞0，b＞0)右支上一点，F₁、F₂分别是左、右焦点，且焦距为2c，则△PF₁F₂的内切圆圆心的横坐标为

A.a　　　　　　　 B.b　　　　　　　　 C.c　　　　　　　　 D.a+b－c

解析：利用平面几何的知识及双曲线的定义易知：△PF₁F₂的内切圆与x轴的切点为双曲线的右顶点.

答案：A

10.圆心在抛物线y²=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是

A.x²+y²－x－2y+=0

B.x²+y²+x－2y+1=0

C.x²+y²－x－2y+1=0

D.x²+y²－x－2y－=0

解析：利用平面几何的知识及抛物线的定义易知圆的半径为1，圆心坐标为(，1)，(，－1).

答案：A

9.已知P₁(x₁，y₁)、P₂(x₂，y₂)是抛物线y²＝2px(p＞0)上两个不同点，则y₁·y₂＝－p²是直线P₁P₂过焦点的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析：显然当P₁P₂是通径时y₁·y₂＝－p²，设P₁P₂的方程为x＝ky+b，代入y²＝2Px，知y²＝2p(ky+b)，即y²－2pky－2pb＝0，由y₁y₂＝－p²，b＝p，

∴P₁P₂：x－p＝ky，此直线过点(，0).

反之，若直线P₁P₂过焦点F(，0)易得y₁y₂=－p².

答案：C

8.双曲线－=1(mn≠0)的离心率为2，则的值为

A.3　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.

C.3或－　　　　　　　　　　　　　　 D.3或

解析：当m＞0，n＞0时，c=，a=，由题意=2，解得=；

当m＜0，n＜0时，c=＝，a=， =2，解得=3.

答案：D

7.若点A的坐标为(3，2)，F为抛物线y²＝2x的焦点，点P在此抛物线上移动，当｜PA｜+｜PF｜取最小值时，点P的坐标为

A.(0，0)　　　　　　　　　　　　　 B.(－2，－2)

C.(2，2)　　　　　　　　　　　　　 D.(2，0)

解析：由抛物线的定义知：过A作准线的垂线与抛物线的交点即为所求.

答案：C

6.双曲线的虚轴长为4，离心率e=，F₁、F₂分别是它的左、右焦点，若过F₁的直线与双曲线的左支交于A、B两点，且|AB|是|AF₂|与|BF₂|的等差中项，则|AB|等于

A.8　　　　　　 B.4　　　　　　 C.2　　　　　　　 D.8

解析：由题意知b=2，=，∴a=2.

由双曲线的定义知

|AF₂|－|AF₁|=4，|BF₂|－|BF₁|=4.

∴|AF₂|+|BF₂|－(|AF₁|+|BF₁|)=8，即|AB|=8.

答案：A

5.(2005年北京海淀区第一学期期末练习)已知mn≠0，则方程mx²+ny²=1与mx+ny²=0在同一坐标系下的图形可能是

解析：由mn≠0，分m、n同号或异号讨论即得A正确.

答案：A