3.(2005年黄冈市调研题)如果方程+=1表示双曲线，则下列椭圆中，与该双曲线共焦点的是

A.+=1　　　　　　　　　　 B.+=－1

C.+=1　　　　　　　　　　 D.+=－1

解析：由题意有pq>0，若p>0，q>0，则双曲线焦点位于y轴上且c²=p+q无答案，则只有p<0，q<0，焦点位于x轴上，且c²=－p－q，B答案符合.

答案：B

y=sinθ(其中参数θ∈R)上的点的最短距离为

A.　　　　　　 B.1　　　　　　　　 C. 　　　　　　　D.

解析：d=

=

=，

d_min=.

答案：A

2.(2005年启东市第二次调研题)过点M(－2，0)的直线l与椭圆x²+2y²=2交于P₁、P₂两点，线段P₁P₂的中点为P，设直线l的斜率为k₁(k₁≠0)，直线OP的斜率为k₂，则k₁·k₂的值为

A.2　　 　　　　　　　　 　B.－2　　　　　　　 C.　　　　　　　　 D.－

解析：设P₁(x₁，y₁)、P₂(x₂，y₂)，中点P(x₀，y₀)，则k₁=，k₂==.

将P₁、P₂两点坐标代入椭圆方程x²+2y²=2，相减得=－.

∴k₁·k₂=·==－.

答案：D

1.过原点的直线l与双曲线－=－1交于两点，则直线l的斜率的取值范围是

A.(－，)

B.(－∞，－)∪(，+∞)

C.［－，］

D.(－∞，－)∪［，+∞)

解析：双曲线焦点在y轴上，渐近线斜率为±，利用数形结合易得k＞或k＜　　 －.

答案：B

22.(14分)如图，ABCD是边长为1的正方形，M、N分别是DA、BC上的点，且MN∥AB，现沿MN折成直二面角AB-MN-CD.

(1)求证：平面ADC⊥平面AMD；

(2)设AM=x(0<x<1)，MN到平面ADC的距离为y，试用x表示y；

(3)点M在什么位置时，y有最大值，最大值为多少?

(1)证明：∵ABCD是正方形，且MN∥AB∥CD，∴MN⊥AM，MN⊥DM，即CD⊥AM，CD⊥DM，∴CD⊥平面AMD.

∵CD平面ADC，

∴平面ADC⊥平面AMD.

(2)解：∵MN∥CD，∴MN∥平面ADC.故MN到平面ADC的距离即为M到平面ADC的距离.过M作MH⊥AD于H，∵平面ADC⊥平面AMD，

∴MH⊥平面ADC，即MH为所求距离.

在Rt△AMD中，求得y==(0<x<1).

(3)解：y≤=≤，当且仅当x=1－x，即x=时，y_max=，此时M为AD的中点.

21.(12分)已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，AB=2，PA=4，E为PC的中点.

(1)求证：平面BDE⊥平面ABCD；

(2)求二面角B-DE-C的大小.

(1)证明：设AC∩BD=O，连结OE.

∵E为PC的中点，O为AC的中点.

∴EO∥PA.

∵PA⊥面ABCD，∴EO⊥面ABCD.

∵EO平面BDE，∴面BDE⊥面ABCD.

(2)解法一：过O作OF⊥DE于F，连结CF.

由(1)可知OC⊥面BDE，

∴DE⊥FC.

∴∠OFC为B-DE-C的平面角.

∵OE=PA=2，OD=1，∴OF=.

又∵OC=，∴tan∠OFC==.

∴二面角B-DE-C的大小为arctan.

解法二：以O为原点建立如上图所示的坐标系，则为平面EBD的法向量，=(0，，0).

设平面CDE的法向量n=(x，y，z).

∵E(0，0，2)，C(0，，0)，D(－1，0，0)，

∴=(1，，0)， =(0，－，2).

∵n·=0，n·=0，

－y+2z=0. 　　　 z=y.

取y=，则n=(－3，，).∴cos〈n，〉==.

∴二面角B-DE-C的大小为arccos.

20.(12分)(理)如图，已知矩形ABCD，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，设AB=a，BC=b，PA=c.

(1)建立适当的空间直角坐标系，写出A、B、M、N点的坐标，并证明MN⊥AB；

(2)平面PDC和平面ABCD所成的二面角为θ，当θ为何值时(与a、b、c无关)，MN是直线AB和PC的公垂线段.

(1)证明：以A为原点，分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.

则A(0，0，0)，B(a，0，0)，M(，0，0)，N(，，).

=(a，0，0)，=(0，，).

·=0AB⊥MN.

(2)解：P(0，0，c)，C(a，b，0)，=(a，b，－c)，若MN是PC、AB的公垂线段，则·=0，即－+=0b=c.

CD⊥PD，

CD⊥DA　　　　　　　　　　　

∴∠PDA是二面角P-CD-A的平面角.

∴∠PDA=45°，

即二面角P-CD-A是45°.

(文)正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N、P分别为棱AB、BC、DD₁的中点.

(1)求证：PB⊥平面MNB₁；

(2)设二面角M-B₁N-B为α，求cosα的值.

(1)证明：如图，以D为原点，DA、DC、DD₁分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，取正方体棱长为2，则P(0，0，1)、M(2，1，0)、B(2，2，0)、B₁(2，2，2).

∵· =(2，2，－1)·(0，1，2)=0，

∴MB₁⊥PB，同理，知NB₁⊥PB.

∵MB₁∩NB₁=B₁，∴PB⊥平面MNB₁.

(2)∵PB⊥平面MNB₁，BA⊥平面B₁BN，∴=(2，2，－1)与=(0，2，0)所夹的角即为α，cosα==.

19.(12分)(2005年春季上海，19)已知正三棱锥P-ABC的体积为72，侧面与底面所成的二面角的大小为60°.

(1)证明：PA⊥BC；

(2)求底面中心O到侧面的距离.

(1)证明：取BC边的中点D，连结AD、PD，则AD⊥BC，PD⊥BC，故BC⊥平面APD.

∴PA⊥BC.

(2)解：如下图，由(1)可知平面PBC⊥平面APD，则∠PDA是侧面与底面所成二面角的平面角.

过点O作OE⊥PD，E为垂足，则OE就是点O到侧面的距离.

设OE为h，由题意可知点O在AD上，

∴∠PDO=60°，OP=2h，OD=.

∴BC=4h.

∴S=(4h)²=4h².

∵72= ·4h²·2h=h³，∴h=3，

即底面中心O到侧面的距离为3.

18.(12分)(2004年广东，18)如下图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AB=4，AD=3，AA₁=2，E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB=FB=1.

(1)求二面角C-DE-C₁的正切值；

(2)求直线EC₁与FD₁所成角的余弦值.

解：(1)以A为原点，、、分别为x轴、y轴、z轴的正向建立空间直角坐标系，则有D(0，3，0)、D₁(0，3，2)、E(3，0，0)、F(4，1，0)、C₁(4，3，2).

于是，=(3，－3，0)， =(1，3，2)， =(－4，2，2).

　 设向量n=(x，y，z)与平面C₁DE垂直，则有 n⊥　 　　　　　 3x－3y=0

n⊥ 　　　　 x+3y+2z=0

x=y=－z.

∴n=(－，－，z)=(－1，－1，2)，其中z>0.

取n₀=(－1，－1，2)，则n₀是一个与平面C₁DE垂直的向量.

∵向量=(0，0，2)与平面CDE垂直，

∴n₀与所成的角θ为二面角C-DE-C₁的平面角.

∴cosθ===.

∴tanθ=.

(2)设EC₁与FD₁所成的角为β，则

cosβ===.

17.(12分)(2003年上海)已知平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁A⊥平面ABCD，AB=4，AD=2.若B₁D⊥BC，直线B₁D与平面ABCD所成的角等于30°，求平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积.

解：连结BD，

∵B₁B⊥平面ABCD，B₁D⊥BC，∴BC⊥BD.

在△BCD中，BC=2，CD=4，∴BD=2.

又∵直线B₁D与平面ABCD所成的角等于30°，

∴∠B₁DB=30°.

于是BB₁=BD=2.

故平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积为S_ABCD·BB₁=8.

16.已知异面直线a、b的公垂线段AB的长为10 cm，点A、M在直线a上，且AM=5 cm，若直线a、b所成的角为60°，则点M到直线b的距离是__________.

解析：如图，过B作BN∥a，且BN与b确定的平面为α，过M作MN⊥α于N，过N作NC⊥b于C，连结MC，由三垂线定理知，MC⊥b，故MC即为所求.在Rt△BCN中，NC=BNsin60°=，

∴MC==.

答案：