20.(14分)已知F(θ)=cos²θ+cos²(θ+α)+cos²(θ+β)，问是否存在满足0≤α＜β≤π的α、β，使得F(θ)的值不随θ的变化而变化?如果存在，求出α、β的值；如果不存在，请说明理由.

解：F(θ)=+［cos2θ+cos(2θ+2α)+cos(2θ+2β)］=+(1+cos2α+cos2β)cos2θ－(sin2α+sin2β)sin2θ.

F(θ)的值不随θ变化的充要条件是

得(cos2α+1)²+sin²2α=1，

cos2α=－.同理，cos2β=－.

又0≤α＜β≤π，

故存在α、β满足条件，其值分别为α=，β=.

●意犹未尽

相信自己是一只雄鹰

一个人在高山之巅的鹰巢里，抓到了一只幼鹰，他把幼鹰带回家，养在鸡笼里.这只幼鹰和鸡一起啄食、嬉闹和休息.它以为自己是一只鸡.这只鹰渐渐长大，羽翼丰满了，主人想把它训练成猎鹰，可是由于终日和鸡混在一起，它已经变得和鸡完全一样，根本没有飞的愿望了.主人试了各种办法，都毫无效果，最后把它带到山顶上，一把将它扔了出去.这只鹰像块石头似的，直掉下去，慌乱之中它拼命地扑打翅膀，就这样，它终于飞了起来！

一语中的：磨炼召唤成功的力量.

19.(12分)设A、B、C是三角形的内角，且lgsinA=0，又sinB、sinC是关于x的方程4x²－2(+1)x+k=0的两个根，求实数k的值.

解：由lgsinA=0，得sinA=1，A=，B+C=，sinC=cosB.

又

∴

由sinBcosB=［(sinB+cosB)²－1］，得=［()²－1］，解得k=.

18.(12分)已知a₁=，a_n+1=a_ncosx－sinnx，求a₂、a₃、a₄，推测a_n并证明.

解：a₂=a₁cosx－sinx==，a₃=a₂cosx－sin2x=，a₄=.

可推测a_n=，数学归纳法可证之.(读者自己完成)

17.(12分)(2004年浙江，理17)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cosA=.

(1)求sin²+cos2A的值；

(2)若a=，求bc的最大值.

解：(1)sin²+cos2A=［1－cos(B+C)］+(2cos²A－1)=(1+cosA)+(2cos²A－1)=(1+)+(－1)=－.

(2)∵=cosA=，

∴bc=b²+c²－a²≥2bc－a².

∴bc≤a².

又∵a=，∴bc≤.

当且仅当b=c=时，bc=.故bc的最大值是.

16.(12分)已知2cos2α－cos2β=1，求sin²2α+sin²β+2cos⁴α的值.

解：由2cos2α－cos2β=1，即2cos2α=1+cos2β，得cos2α=cos²β.因此sin²2α+sin²β+2cos⁴α=sin²2α+sin²β+2·()²=1+cos2α+sin²β=1+cos²β+sin²β=2.

15.(12分)(2005年黄冈市调研题)已知sin－cos=，α∈(，π)，tan(π－β)=，求tan(α－2β)的值.

解：∵sin－cos=，

∴1－sinα=.∴sinα=.

又∵α∈(，π)，∴cosα=－=－.

∴tanα=－.

由条件知tanβ=－，

∴tan2β==－.

∴tan(α－2β)==.

14.若f(x)=asin³x+btanx+1且f(3)=5，则f(－3)=_______.

解析：令g(x)=asin³x+btanx，则g(－x)=－g(x).

f(3)=g(3)+1=5，g(3)=4.

f(－3)=g(－3)+1=－g(3)+1=－4+1=－3.

答案：－3

13.△ABC中，若sinA=，cosB=，则cosC=_______.

解析：由cosB=，得sinB=＞=sinA.A是锐角，cosA=，cosC=cos(π－A－B)=.

答案：

12.(2005年春季上海，11)函数y=sinx+arcsinx的值域是____________.

解析：该函数的定义域为［－1，1］.

∵y=sinx与y=arcsinx都是［－1，1］上的增函数，

∴当x=－1时，y_min=sin(－1)+arcsin(－1)=－－sin1，

当x=1时，y_max=sin1+arcsin1=+sin1，

∴值域为［－－sin1，+sin1］.

答案：［－－sin1，+sin1］

11.已知角α的终边上一点P(，－1)，则sec²α+csc²α+cot²α=_________.

解析：secα=，cscα=－2，cotα=－，代入得.

答案：