11．设分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点，使且，则双曲线的离心率为(　　 )

A．　　　　　　　 B．　　　　　　　 C．　　　　　　　 D．

22．(本小题满分14分)

解：(Ⅰ)设椭圆的半焦距为，依题意

，所求椭圆方程为．

(Ⅱ)设，．

(1)当轴时，．

(2)当与轴不垂直时，

设直线的方程为．

由已知，得．

把代入椭圆方程，整理得，

，．

．

当且仅当，即时等号成立．当时，，

综上所述．

当最大时，面积取最大值．

山东理

(13)设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则为　　　　　　 ．

(21)(本小题满分12分)

已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为．

(Ⅰ)求椭圆的标准方程；

(Ⅱ)若直线与椭圆相交于，两点(不是左右顶点)，且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

[标准答案](I)由题意设椭圆的标准方程为

，

　(II)设，由得

，

，.

以AB为直径的圆过椭圆的右顶点，

，，

，

，解得

，且满足.

当时，，直线过定点与已知矛盾；

当时，，直线过定点

综上可知，直线过定点，定点坐标为

全国2理

22. (本小题满分14分)

已知椭圆C:=1(a＞b＞0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.

(Ⅰ)求椭圆C的方程;

(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值.

9.已知双曲线C∶＞0,b＞0),以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是

(A)a　　　　　 　　　　　　　 (B)b　　　　　　　　　　　　　　 (C)　　　　　　　　　　　　　　 (D)

3.抛物线的准线方程是

(A)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (B)

(C)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (D)

21．解：(1) ，

，

于是，

所求“果圆”方程为，．　

(2)设，则

　　　　　 ，

　　 ， 的最小值只能在或处取到．

　　 即当取得最小值时，在点或处．　　　　　　　　　　

　　 (3)，且和同时位于“果圆”的半椭圆和半椭圆上，所以，由(2)知，只需研究位于“果圆”的半椭圆上的情形即可．　　　　　　　

　 　　　　　　．

　　 当，即时，的最小值在时取到，

此时的横坐标是．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　 当，即时，由于在时是递减的，的最小值在时取到，此时的横坐标是．　　　　　　　　　　　　　　　　

　　 综上所述，若，当取得最小值时，点的横坐标是；若，当取得最小值时，点的横坐标是或．

陕西文

21．[解]

(1)∵F₀(c，0)F₁(0，)，F₂(0，)

∴| F₀F₁ |＝，| F₁F₂ |＝

于是，，所求“果圆”方程为

(x≥0)，(x≤0)．　　　　　　　　　　　　　　　 ……4分

(2)由题意，得a+c＞2b，即．

∵(2b)²＞b²+c²，∴a²－b²＞(2b－a)²，得　　　　　　　　　　 ……7分

又b²＞c²＝a²－b²，∴．

∴．

(3)设“果圆”的方程为(x≥0)(x≤0)

记平行弦的斜率为k．

当k＝0时，直线y＝t(－b≤t≤b)与半椭圆(x≥0)的交点是

，与半椭圆(x≤0)的交点是Q()．

∴P、Q的中点M(x，y)满足

得．

∵a＜2b，∴．

综上所述，当k＝0时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆……14分

当k＞0时，以k为斜率过B₁的直线l与半椭圆(x≥0)的交点是

由此，在直线l右测，以k为斜率的平行弦的中点轨迹在直线上，即不在某一椭圆上．　　　 ……17分

当k＜0时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．　　 ……18分

上海文

_{21．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分．}

我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的曲线称作“果圆”，其中，，．

如图，设点，，是相应椭圆的焦点，，和，是“果圆” 与，轴的交点，是线段的中点．

(1)若是边长为1的等边三角形，求该

“果圆”的方程；

(2)设是“果圆”的半椭圆

上任意一点．求证：当取得最小值时，

在点或处；

　　 (3)若是“果圆”上任意一点，求取得最小值时点的横坐标．

21、已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中，是对应的焦点。

(1)若三角形是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；

(2)若，求的取值范围；

(3)一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦。是否存在实数，使得斜率为的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由。

8、已知双曲线，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为

22．本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．满分14分．

(Ⅰ)证法一：由题设及，，不妨设点，其中．由于点在椭圆上，有，即．

解得，从而得到．

直线的方程为，整理得．

由题设，原点到直线的距离为，即，

将代入上式并化简得，即．

证法二：同证法一，得到点的坐标为．

过点作，垂足为，易知，故．

由椭圆定义得，又，

所以，

解得，而，得，即．

(Ⅱ)解法一：设点的坐标为．

当时，由知，直线的斜率为，所以直线的方程为，或，其中，．

点的坐标满足方程组

将①式代入②式，得，

整理得，

于是，．

由①式得

．

由知．将③式和④式代入得，

．

将代入上式，整理得．

当时，直线的方程为，的坐标满足方程组

所以，．

由知，即，

解得．

这时，点的坐标仍满足．

综上，点的轨迹方程为　．

解法二：设点的坐标为，直线的方程为，由，垂足为，可知直线的方程为．

记(显然)，点的坐标满足方程组

由①式得．　　　③

由②式得．　　④

将③式代入④式得．

整理得，

于是．　　⑤

由①式得．　　⑥

由②式得．　⑦

将⑥式代入⑦式得，

整理得，

于是．　　⑧

由知．将⑤式和⑧式代入得，

．

将代入上式，得．

所以，点的轨迹方程为．

四川文

(5)如果双曲线＝1上一点P到双曲线右焦点的距离是2,那么点P到y轴的距离是

(A)　　　　　　　　　　　 (B)　　　　　　　 (C)　　　　　　　　　　　 (D)

(10)已知抛物线y-x²+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于

A.3　　　　　　 B.4　　　　　　 C.3　　　　　 D.4

解析：选C．设直线的方程为，由，进而可求出的中点，又由在直线上可求出，∴，由弦长公式可求出．本题考查直线与圆锥曲线的位置关系．自本题起运算量增大．

(21)(本小题满分12分)

求F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点.

(Ⅰ)若r是第一象限内该数轴上的一点，，求点P的作标；

(Ⅱ)设过定点M(0，2)的直线l与椭圆交于同的两点A、B，且∠ADB为锐角(其中O为作标原点)，求直线的斜率的取值范围.

解析：本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理计算能力．

(Ⅰ)易知，，．

∴，．设．则

，又，

联立，解得，．

(Ⅱ)显然不满足题设条件．可设的方程为，设，．

联立

∴，

由

，，得．①

又为锐角，

∴

又

∴

∴．②

综①②可知，∴的取值范围是．

四川理

20)(本小题满分12分)设、分别是椭圆的左、右焦点.

(Ⅰ)若是该椭圆上的一个动点，求·的最大值和最小值;

(Ⅱ)设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且∠为锐角(其中为坐标原点)，求直线的斜率的取值范围.

(20)本题主要考察直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能力。

解：(Ⅰ)解法一：易知

所以，设，则

因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值

当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值

解法二：易知，所以，设，则

(以下同解法一)

(Ⅱ)显然直线不满足题设条件，可设直线，

联立，消去，整理得：

∴

由得：或

又

∴

又

∵，即　 ∴

故由①、②得或

上海理