如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量与，则平

面α与β所成的角跟法向量与　　　 α　

所成的角相等或互补，所以首先　　　　 　　β

必须判断二面角是锐角还是钝角。　　　　　　　

例6、如下图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=a，AD=3a，sin∠ADC=，且PA⊥平面ABCD，PA=a，求二面角P-CD-A的平面角的余弦值。

分析：依题意，先过C点CE⊥AD，计算得ED=2a，BC=AE=a,建立如图右角直角坐标系，则P(0，0，a),D(0,3a,0)，　　　 P

C(a,a,0),,　　　　　　　 A　　　　 E　　　　 D

,,　　 B　　　　 C

取平面ACD的一个法向量，设平面PCD的法向量是、，所以得　　　　　　　　　　

　　 　　　　 所以不妨取得，从而计算得

易得二面角P-CD-A的平面角是锐角，所以其角的余弦是

首先必须确定两个平面是否平行，这时可以在一个平面上任取一点，将两平面间的距离问题转化成点到平面的距离问题。

例5、　　 棱长为的正方体中.求证：平面AB₁C∥平面；

(1)　　 求平面与平面间的距离.

分析(2)：建立如图所示的直角坐标系，

则A、D、A₁、C₁的坐标分别是

(1，0，0)、(0，0，0)、(1，0，1)、

(0，1，1)，∴，

，，将平面与平面间的距离转化成点A到平面的距离。设平面的一个法向量，

则，即，

，平面与平面间的距离

首先必须确定直线与平面平行，然后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到平面的距离问题。

例4、已知边长为的正三角形ABC中，E、F分别为BC和AC的中点，PA⊥面ABC，且PA=2，设平面α过PF且与AE平行，求AE与平面α间的距离。

分析：因为AE∥平面α，所以将AE与平面α的距离转化成点A到平面α的距离，建立如图右手直角坐标系，　

　则A(0，0，0)，P(0，0，2)，　　　　　

E(，0，0)，F(，，0)，　　　　　　　 P

,,　　　　　　　 A　　 F

,设法向量=(x,y,z)，　 B　 E　　　　 C

则由，得，

　 　　　　　　　　　x=0

　　　　　　 不妨设防z=1，则=(0，，1),所以依公式可得所求距离为

如右图所示，已知AB是平面α的　　　　

一条斜线，为平面α的法向量，则　　　　　　　　 C　 B

A到平面α的距离为　　　　 α　

例3、已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC=2，求点B到平面EFG的距离。

分析：建立如图所示右手直角坐标系，　　　　　　　　　　　　　 G

则E(4，-2，0)，F(2，-4，0)，　　　　　　　　 E　 D　 　　　　C

G(0，0，2)，B(4，0，0)，　　　　　　　　 A　　 F　　 B

=(0，-2，0)，=(-4，2，2)，=(-2，4，2)，设平面EFG的法向量=(x,y,z)，则由，得

　　　 -4x+2y+2z=0　　　　　 x= 　　

-2x+4y+2z=0　　　　 y=

不妨设z=3，则=(1，-1，3),所以依公式可得所求距离为

如右图所示，a、b是两异面直线，是　　　 a　　　 E　　

a和b 的法向量，点E∈a，F∈b，则　　　　　

异面直线 a与b之间的距离是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　 b　 F

例1、如下图，正四棱锥S-ABCD的高SO=2，底边长，求异面直线BD和SC之间的距离.

分析：建立如图所示的直角坐标系，则

，，

，，.，

.令向量，且，则，，，，.异面直线BD和SC之间的距离为：

.

例2、如下图，正方体ABCD- A₁B₁C₁D₁的棱长为2，M、N分别为AA₁，BB₁的中点，

求(1)CM与D₁N的余弦值；

(2)异面直线CM与D₁N的距离。(2004年广州调研试题)

分析(2)：建立如图所示右手直角坐标系，则C(0,2,0)、D₁(0，0，2)、M(2，0，1)、N(2，2，1)

，　　　　 D₁　　　　 C₁

设法向量 A₁ 　　　　　B₁

则　　　 2x-2y+z=0　　　　 x=0　　 M　 D　　　　 N　 C

2x+2y-z=0　　　 z=2y　　 A　　　　　　　 B

令y=1得，依公式得异面直线CM与D₁N的距离是

4、 求直线和平面所成的角

如图，已知PA为平面a的一条斜线，n为平面a的一个法向量，过P作平面a的垂线PO，连结OA则ÐPAO为斜线PA和平面a所成的角记为q，易得

5　 、求点到平面的距离

如图点P为平面外一点，点A为平面内的任一点，平面的法向量为n,过点P作平面a的垂

线PO，记∠OPA=q，则点P到平面的距离

6　 、求二面角的大小如图在二面角中，n₁和n₂分别为平面a和b的法向量，若二面角的大小为q，则=(依据两平面法向量的方向或实际图形来确定q是锐角或是钝角)。

3、求直线和直线所成的角　 若直线AB、CD所成的角是a，cosa=

2、 证明面面垂直　　 验证两个平面的法向量的数量积是否为零。

1、　 证明线面平行　　 取和直线平行的向量，验证该向量和法向量的数量积是否为零。

例4.过正方形的顶点A，引，若，

则平面与平面所成的二面角的大小．

解：以为原点，分别为轴轴,轴建立空间直角坐标系如图。

则，　， , ,则，.设平面PCD的法向量为,,即；，即．所以可令；设平面PAB的法向量为，所以平面PAB与平面PCD所成的二面角的余弦值为．所以平面与平面所成的二面角的平面角为．

既然可以利用两个平面的法向量求两平面的夹角，也可以利用两个平面法向量证明两平面垂直．如下面的例5．可以先求两平面的法向量，再计算它们的数量积．

例5.如图，正四棱柱中，底面边长为，侧棱长为4，分别为棱的中点.

求证：平面平面　　　　　　　　　　　　　　

解：以为原点，分别

为建立空间直角坐标系，则，　，

,,

设平面EF的法向量为，

则=0；即.所以令=

设平面的法向量为=,,即4=0; ,即.所以可令．　＝0

平面平面.