13．(江西理)18．(本小题满分12分)因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果树的方案，每种方案都需分两年实施．若实施方案一，预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5．若实施方案二，预计第一年可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6．实施每种方案第一年与第二年相互独立，令表示方案实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数．

(1)写出ξ₁、ξ₂的分布列；

(2)实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大?

(3)不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到、恰好达到、超过灾前产量，预计利润分别为10万元、15万元、20万元．问实施哪种方案的平均利润更大?

解：(1)ξ₁的分布列为

ξ₂的分布列为

(2)由(1)可得P₁＞1的概率P(P₁＞1)= 0.15 + 0.15 = 0.3，

P₂＞1的概率P(P₂＞1)= 0.24 + 0.08 = 0.32，

可见，P(P₂＞1)＞P(P₁＞1)

∴实施方案2，两年后产量超过灾前概率更大。

(3)设实施方案1、2的平均利润分别为利润1、利润2，根据题意

　　 利润1 = (0.2 +0.15)×10 + 0.35×15 + (0.15 + 0.15)×20

　　　　　 = 14.75(万元)

　　 利润2 = (0.3 + 0.2)×10 + 0.18×15 + (0.24 + 0.08)×20

　　　　　 = 14.1(万元)

∴利润1＞利润2，

∴实施方案1平均利润更大。

12．(湖南文)(16)．(本小题满分12分)甲乙丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约。甲表示只要面试合格

就签约，乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约。设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响。求：

(1)至少一人面试合格的概率；

(2)没有人签约的概率。

解：用A,B,C分别表示事件甲、乙、丙面试合格．由题意知A,B,C相互独立，

且

(1)至少有一人面试合格的概率是

(2)没有人签约的概率为

11．(湖南理)(16)(本小题满分12分)甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响.求：

(1)至少有1人面试合格的概率;

(2)签约人数的分布列和数学期望.

解　 用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A，B，C相互独立，且

P(A)＝P(B)＝P(C)＝.

(1)至少有1人面试合格的概率是

(2)的可能取值为0，1，2，3.

　　　　　　　 ＝

　　　　　　　 ＝

　　　　　　　 =

　　　　　　　 =

所以， 的分布列是

	0	1	2	3
P

的期望

10．(湖北理)(17)(本小题满分12分)

袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球.ξ表示所取球的标号.

(1)求ξ的分布列，期望和方差；

(2)若η=aξ-b,Eη=1,Dη=11,试求a,b的值.

解：(1)的分布列为：

	0	1	2	3	4
P

∴

(2)由，得a²×2.75＝11，即又所以

当a=2时，由1＝2×1.5+b,得b=-2;

当a=-2时，由1＝-2×1.5+b，得b=4.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∴或即为所求.

9．(海南宁夏文)(19)．(本小题满分12分)为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校6名学生进行问卷调查．6人得分情况如下：

5，6，7，8，9，10．

把这6名学生的得分看成一个总体．

(1)求该总体的平均数；

(2)用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本．求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．

解：(1)总体平均数为．

(2)设表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”．

从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有：，，，，，，，，，，，，，，．

共15个基本结果．

事件包括的基本结果有：，，，，，，．

共有7个基本结果．

所以所求的概率为 ．

8．(海南宁夏理)(19)．(本小题满分12分)两个投资项目的利润率分别为随机变量X₁和X₂．根据市场分析，X₁和X₂的分布列分别为

(1)在两个项目上各投资100万元，Y₁和Y₂分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差DY₁，DY₂；

(2)将万元投资A项目，万元投资B项目，表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和．求的最小值，并指出x为何值时，取到最小值．(注：)

解：(1)由题设可知和的分布列分别为

，

，

，

．

(2)

，

当时，为最小值．

7．(广东文)(19).(本小题满分13分)某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：

已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19.

(1)　　　 求x的值；

(2)　　　 现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？

(3)　　　 已知y245,z245,求初三年级中女生比男生多的概率.

解：(1)　 　　　　　　　

　　 (2)初三年级人数为y+z＝2000－(373+377+380+370)＝500，

　　 现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为： 名

　　 (3)设初三年级女生比男生多的事件为A ，初三年级女生男生数记为(y，z)；

　　 由(2)知 　，且　 ,基本事件空间包含的基本事件有：

(245，255)、(246，254)、(247，253)、……(255，245)共11个

事件A包含的基本事件有：(251，249)、(252，248)、(253，247)、(254,246)、(255,245) 共5个

6．(广东理)(17)．(本小题满分13分)随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润(单位：万元)为．

(1)求的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即的数学期望)；

(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为，一等品率提高为．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？

解：的所有可能取值有6，2，1，-2；，

，

	6	2	1
	0.63	0.25	0.1	0.02

故的分布列为：

(2)

(3)设技术革新后的三等品率为，则此时1件产品的平均利润为

依题意，，即，解得 所以三等品率最多为

5．(福建文)(18)(本小题满分12分)三人独立破译同一份密码.已知三人各自破译出密码的概率分别为且他们是否破译出密码互不影响.

　(1)求恰有二人破译出密码的概率；

(2)“密码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个大？说明理由.

解：记“第i个人破译出密码”为事件A₁(i=1,2,3)，依题意有

且A₁，A₂，A₃相互独立.

(1)设“恰好二人破译出密码”为事件B，则有

B＝A₁·A₂··A₁··A₃+·A₂·A₃且A₁·A₂·，A₁··A₃，·A₂·A₃

彼此互斥

于是P(B)=P(A₁·A₂·)+P(A₁··A₃)+P(·A₂·A₃)

　　＝＝.

答：恰好二人破译出密码的概率为.

(2)设“密码被破译”为事件C，“密码未被破译”为事件D.

D＝··，且，，互相独立，则有

P(D)＝P()·P()·P()＝＝.

而P(C)＝1-P(D)＝，故P(C)＞P(D).

答：密码被破译的概率比密码未被破译的概率大.

4．(福建理)(20)(本小题满分12分)

　某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科　　目B的考试.已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证　　书.现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为，科目B每次考试　　成绩合格的概率均为.假设各次考试成绩合格与否均互不影响.

　(1)求他不需要补考就可获得证书的概率；

　(2)在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为，求的数学期望E.

　　 解:设“科目A第一次考试合格”为事件A，“科目A补考合格”为事件A₂；“科目B第一次考试合格”为事件B，“科目B补考合格”为事件B.

　　 (1)不需要补考就获得证书的事件为A₁·B₁,注意到A₁与B₁相互独立，

则.

答：该考生不需要补考就获得证书的概率为.

(2)由已知得，＝2，3，4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得

故

答：该考生参加考试次数的数学期望为.