19. (本小题满分14分)

　　 设双曲线的两个焦点分别为，离心率为2.

　　 (I)求此双曲线的渐近线的方程；

　　 (II)若A、B分别为上的点，且，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；

(III)过点能否作出直线，使与双曲线交于P、Q两点，且.若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.

解：(I)

　　 ，渐近线方程为　　　　　　　 4分

　　 (II)设，AB的中点

　　 则M的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为，短轴长为的椭圆.(9分)

　　 (III)假设存在满足条件的直线

　　 设

　　 由(i)(ii)得

　　 ∴k不存在，即不存在满足条件的直线.　　　　　　　 14分

2．(本小题满分13分)

已知函数，

数列满足

　　 (I)求数列的通项公式；

　　 (II)设x轴、直线与函数的图象所围成的封闭图形的面积为，求；

　　 (III)在集合，且中，是否存在正整数N，使得不等式对一切恒成立？若存在，则这样的正整数N共有多少个？并求出满足条件的最小的正整数N；若不存在，请说明理由.

　　 (IV)请构造一个与有关的数列，使得存在，并求出这个极限值.

解：(I)

　　 　　　　　　　　　　　 ……1分

　　 ……

　　 将这n个式子相加，得

　　 　　　　　　　　　　　 ……3分

　　 (II)为一直角梯形(时为直角三角形)的面积，该梯形的两底边的长分别为，高为1

　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 ……6分

　　 (III)设满足条件的正整数N存在，则

　　 又

　　 均满足条件

　　 它们构成首项为2010，公差为2的等差数列.

　　 设共有m个满足条件的正整数N，则，解得

　　 中满足条件的正整数N存在，共有495个，　　　　 ……9分

　　 (IV)设，即

　　 则

　　 显然，其极限存在，并且　　　 ……10分

　　 注：(c为非零常数)，等都能使存在.

1．(本小题满分13分)

　如图，已知双曲线C：的右准线与一条渐近线交于点M，F是双曲线C的右焦点，O为坐标原点.

　　 (I)求证：；

　　 (II)若且双曲线C的离心率，求双曲线C的方程；

　　 (III)在(II)的条件下，直线过点A(0，1)与双曲线C右支交于不同的两点P、Q且P在A、Q之间，满足，试判断的范围，并用代数方法给出证明.

解：(I)右准线，渐近线

　　 ，

　　 　　　　　　　　 ……3分

　　 (II)

双曲线C的方程为：　　　　　　　 ……7分

　　 (III)由题意可得　　　　　　　　　　 　　　 ……8分

　　 证明：设，点

　　 由得

　　 与双曲线C右支交于不同的两点P、Q

　　 　　　　　　　　　　　　　　 ……11分

　　 ，得

的取值范围是(0，1)　　　　　　　　　　　　　　 ……13分

22.如图所示，有两条相交成60°角的直路XX′和YY′，交点是O，甲、乙分别在OX、OY上，起初甲离O点3 km，乙离O点1 km，后来两人同时用4 km/h的速度，甲沿XX′方向，乙沿Y′Y的方向步行.

(1)起初，两人的距离是多少?

第22题图

21.已知△ABC的顶点为A(0，0)，B(4，8)，C(6，-4).M点在线段AB上，且=3，P点在线段AC上，△APM的面积是△ABC的面积的一半，求点M、P的坐标.

20.设a=(-1-x)i,b=(1-x)i+yj(x、y∈R,i、j分别是x、y轴正方向上的单位向量)，且|a|=|b|.

(1)求点M (x,y)的轨迹C的方程；

(2)过点(4,0)作直线l交曲线C于A、B两点，设=+，求证：四边形OAPB为矩形.

19.已知向量a=(,),b=(,),且x∈［-,］.

(1)求a·b及|a+b|;

(2)若f (x)=a·b-|a+b|,求f (x)的最大值和最小值.

18.设两向量、满足||=2，||=1,、的夹角为60°，若向量2t+7与向量+t的夹角为钝角，求实数t的取值范围.

17.若向量a的始点为A(-2，4)，终点为B(2，1).求：

(1)向量a的模.

(2)与a平行的单位向量的坐标.

(3)与a垂直的单位向量的坐标.

16.把函数的图象按向量a平移后，得到的图象，且a⊥b,c=(1,-1),b·c=4,则b=　　　　　　　 .