4. 解(Ⅰ)由已知得， 由，得，．

∵，，∴ 当时，，递增；

当时，，递减．

∴ 在区间上的最大值为，∴．……………………………2分

又，，∴ ．

由题意得，即，得．故，为所求． (Ⅱ)解：由(1)得，，点在曲线上．

⑴ 当切点为时，切线的斜率，

∴ 的方程为，即．　 ………………………………5分

⑵当切点不是切点时，设切点为，切线的斜率，∴ 的方程为 ．

又点在上，∴ ，

∴ ，∴ ，

∴ ，即，∴． ∴ 切线的方程为．…8分

故所求切线的方程为或．　　　 ………………………………9分

( 或者：由(1)知点A(0，1)为极大值点，所以曲线的点A处的切线为，恰好经过点，符合题意．)

赣马高级中学解答题专题训练导数(二)

1解．(I)，

当时，在上是单调增函数．

(II)，原不等式即为在时恒成立．的最大值为1，在时恒成立．

令，则，且由，解得或由，解得或

综上得，或

2　 解 (1)∵，∴.从而＝　　　　　　　　　　　

是一个奇函数，所以得，由奇函数定义得；

(2)由(Ⅰ)知，从而，由此可知，

和是函数是单调递增区间；

是函数是单调递减区间；

在时，取得极大值，

极大值为，在时，取得极小值，极小值为.

3(Ⅰ)解：，由导数的几何意义得，于是．

由切点在直线上可得，解得．

所以函数的解析式为．

(Ⅱ)解：．

当时，显然()．这时在，上内是增函数．

当时，令，解得．当变化时，，的变化情况如下表：

	+	0	－	－	0	+
	↗	极大值	↘	↘	极小值	↗

所以在，内是增函数，在，内是减函数．

(Ⅲ)解：由(Ⅱ)知，在上的最大值为与的较大者，对于任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，即，对任意的成立．从而得，所以满足条件的的取值范围是．

4解：(Ⅰ)因为函数为奇函数，

所以，对任意的，，即．

又所以．

所以解得．

(Ⅱ)由(Ⅰ)得．所以．

当时，由得．变化时，的变化情况如下表：

		0		0

所以，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，

在上单调递增．当时，，所以函数在上单调递增．

赣马高级中学解答题专题训练导数(三)

1解：(1)令f(x)=(0＜x＜π),则f′(x)=.　　　　　　　　　　

令g(x)=xcosx-sinx，则g′(x)=-xsinx.所以当0＜x＜π时，g′(x)=-xsinx＜0,

所以g(x)=xcosx-sinx在(0，π)上是递减的，

由连续性知g(x)=xcosx-sinx在[0，π]上也是递减的.

所以当0＜x＜π时，g(x) ＜g(0)=0.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (6分)

所以f′(x)=＜0，所以f(x)在(0，π)上是递减的.

而0＜α＜β＜π，所以f(α) ＞f(β)。

即＞，故命题成立，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (8分)

(2)令∠A=α∠B=2α∠C=π-3α，则由正弦定理和诱导公式有

，即.　　　　　　　　　　 (11分)

而0＜α＜2α＜3α＜π，所以由(1)的结论有＞＞.　　　 (12分)

将正弦定理代入即得＞＞＞＞，即6a＞3b＞2c

2解：(1)方程可化为，当时，；

又，于是，解得，故

(2)设为曲线上任一点，由知曲线在点处的切线方程为

，即

令，得，从而得切线与直线的交点坐标为；

令，得，从而得切线与直线的交点坐标为；

所以点处的切线与直线所围成的三角形面积为；

故曲线上任一点处的切线与直线所围成的三角形面积为定值，此定值为6；

3[解析]设楼房每平方米的平均综合费为元，依题意得

则，令，即，解得

当时，；当时，，

因此，当时，取得最小值，元.

答：为了使楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层。

4 解：设AN的长为x米(x >2)

　　　 ∵，∴|AM|＝

∴S_AMPN＝|AN|•|AM|＝ ------------------------------------- 4分

(1)由S_AMPN > 32 得 　> 32 ，

　　　 ∵x >2，∴，即(3x－8)(x－8)> 0

　　　 ∴　　　 即AN长的取值范围是----------- 8分

(2)令y＝，则y′＝　 -------------- 10分

∵当，y′< 0，∴函数y＝在上为单调递减函数，

∴当x＝3时y＝取得最大值，即(平方米)

此时|AN|＝3米，|AM|＝米　　　 ---------------------- 12分

赣马高级中学解答题专题训练导数(四)

2..解：(Ⅰ)依题意知：直线是函数在点处的切线，故其斜率

，所以直线的方程为．

　　　 又因为直线与的图像相切，所以由

，

得(不合题意，舍去)；

3解：(Ⅰ) f’(x)＝3x²+2mx－m²=(x+m)(3x－m)=0,则x=－m或x=m,

　　 当x变化时，f’(x)与f(x)的变化情况如下表：

x	(－∞,－m)	－m	(－m,)		(,+∞)
f’(x)	+	0	－	0	+
f (x)		极大值		极小值

从而可知，当x=－m时，函数f(x)取得极大值9，

即f(－m)＝－m³+m³+m³+1=9,∴m＝2.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)=x³+2x²－4x+1,

依题意知f’(x)＝3x²+4x－4＝－5，∴x＝－1或x＝－.

又f(－1)＝6，f(－)＝，所以切线方程为y－6＝－5(x+1),或y－＝－5(x+)，

即5x+y－1＝0，或135x+27y－23＝0.

1．解：(I)设切线的斜率为k　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………2分

　　 则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………4分

　　 又

　　 即　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………6分

　 (II)

　　 要使

　　 即对任意的　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………8分

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………10分

　　 而时，等号成立 所以

　　 所求满足条件的a 值为1

4. 　如图，是沿太湖南北方向道路，为太湖中观光岛屿，为停车场，。某旅游团游览完岛屿后，乘游船回停车场，已知游船以的速度沿方位角的方向行驶，，游船离开观光岛屿3分钟后，因事耽搁没有来得及登上游船的游客甲为了及时赶到停车地点与旅游团会合，决定立即租用小船先到达湖滨大道处，然后乘出租汽车到点(设游客甲到达湖滨大道后立即乘到出租车)。假设游客甲乘小船行驶的方向是方位角，出租汽车的速度为.

(Ⅰ)设，问小船的速度为多少时，游客甲才能和游船同时到达点；

(Ⅱ)设小船速度为，请你替游客甲设计小船行驶的方位角，当角余弦值的大小是多少时，游客甲能按计划以最短时间到达.

赣马高级中学解答题专题训练导数(一)

3. 　已知函数，设。(Ⅰ)求F(x)的单调区间；

(Ⅱ)若以图象上任意一点为切点的切线的斜率 恒成立，求实数的最小值

1． 已知0＜α＜β＜π.　 (1)求证：＞；(提示：构造函数)

(2)在△ABC中，已知∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，当∠B=2∠A时，判

6a、3b、2c的大小，并说明理由.

2　 设函数，曲线在点处的切线方程为。(1)求的解析式；　　　　　　 (2)证明：曲线上任一点处的

切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值，并求此定值。

3　 某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48(单位：元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？

(注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝)

4　 如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛　　 AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，　 已知|AB|＝3米，|AD|＝2米，

(1) 要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？

(2) 若|AN| (单位：米)，则当AM、AN的长度是多少时，矩形花坛AMPN的面积最大？并求出最大面积．

赣马高级中学解答题专题训练14

导数(四)编写：刘卫兵　　　　 审核：樊继强　 王怀学

1　 。　 已知函数(Ⅰ)求函数的图象在处的切线方程；

(Ⅱ)求的最大值；

2　 　已知函数(为常数，且)有极大值9.

　 　(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)若斜率为-5的直线是曲线的切线，求此直线方程.

4．已知函数的导数为实数，.

(Ⅰ)若在区间上的最小值、最大值分别为、1，求、的值；

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，求经过点且与曲线相切的直线的方程；

赣马高级中学解答题专题训练12

导数(二)编写：刘卫兵　　　　 审核：樊继强　　 王怀学

1　 设函数(I)证明函数在上是单调增函数；

(II)若不等式，当时恒成立，求实数m的取值范围．

2　 设函数，已知 是奇函数．

　 (1)求、的值．

　 (2)求的单调区间与极值．

3　 已知函数，其中.

(Ⅰ)若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式；

(Ⅱ)讨论函数的单调性；

Ⅲ)若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围.

4　 已知函数，且是奇函数．

(Ⅰ)求，的值；

(Ⅱ)求函数的单调区间．

赣马高级中学解答题专题训练13

导数(三)编写：刘卫兵　　　　 审核：樊继强　 王怀学

1．已知函数，

　 (I)若上的一个动点，求以点P为切点的切线斜率取最小值时的切线方程；

　 (II)若函数上为单调增函数，试求满足条件的最大整数a的值。

2 　已知，()，直线与函数、的图像都相切，且与函数的图像的切点的横坐标为1．求直线的方程及的值；

3　 已知函数(m为常数，且m>0)有极大值9.

　(Ⅰ)求m的值；

　(Ⅱ)若斜率为的直线是曲线的切线，求此直线方程.

5．某港口水的深度 y(米)是时间t(，单位：时)的函数，记作y=f(t)，下面是某日水深的数据：经长期观察，y=f(t)的曲线可以近似地看成函数的图象.

(Ⅰ)试根据以上数据，求出函数的近似表达式；

(Ⅱ)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)，某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5米.如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间)．

解：(Ⅰ)由已知数据，易知函数y=f(t)的周期T=12,振幅A=3, b=10，∴(0≤t≤24)

(Ⅱ)由题意，该船进出港时，水深应不小于5+6.5=11.5(米)　 ∴∴ 解得， ； 　在同一天内，取k=0或1　∴1≤t≤5或13≤t≤17　

∴该船最早能在凌晨1时进港，下午17时出港，在港口内最多停留16个小时。

4．已知矩形纸片ABCD中，AB=6，AD=12，将矩形纸片的右下角折起，使该角的顶点B落在矩形的边AD上，且折痕MN的两端点M、N分别位于边AB、BC上，设

。(Ⅰ)试将表示成的函数；(Ⅱ)求的最小值。

解：(Ⅰ)如图所示，，则MB=，

，由题设得：+=6，从而得，即：，

由得：故：表示成的函数为：，()

(Ⅱ)设：则，即，，令，得当时，，当时，，所以当时，取到最大值：，的最小值为