3．在平面直角坐标系中，已知点、，是平面内一动点，直线、的斜率之积为．

(Ⅰ)求动点的轨迹的方程；

(Ⅱ)过点作直线与轨迹交于、两点，线段的中点为，求直线的斜率的取值范围．

2．已知直线所经过的定点恰好是椭圆的一个焦点,且椭圆上的点到点的最大距离为8.

　 (Ⅰ)求椭圆的标准方程；(7分)

　 (Ⅱ)已知圆,直线.试证明当点在椭圆上运动时,直线与圆恒相交；并求直线被圆所截得的弦长的取值范围. (8分)

1．已知：以点为圆心的圆与轴交于点，与轴交于点、，其中为原点。求证：的面积为定值；

(1)　　　 设直线与圆交于点，若，求圆的方程。

5．已知平面区域恰好被面积最小的圆及其内

部所覆盖．

(Ⅰ)试求圆的方程.

(Ⅱ)若斜率为1的直线与圆C交于不同两点满足,求直线的方程.

赣马高级中学解答题专题训练19

解析几何(二)　 编写：刘建自　 审核：王怀学

4．已知与曲线C：相切的直线交的正半轴与两点，O为原点，=a，，．

(1)求线段中点的轨迹方程；(2)求的最小值．

3．已知直线:y=k(x+2)与圆O：x²+y²=4相交于A、B两点，O是坐标原点，三角形ABO的面积为S．

(1)试将S表示成k的函数，并求出它的定义域；(2)求S的最大值，并求取得最大值时k的值．

2.已知P(2，0)，Q(8，0)，点M到点P的距离是它到点Q距离的，求点M的轨迹方程，并求轨迹上的点到直线l：8x－y－1＝0的最小距离．

1．过点作直线分别交轴的正半轴和y轴的正半轴于点、，当(为原点)的面积最小时，求直线的方程，并求出的最小值．

6．数列的前n项和记为，已知，

(1)证明数列是公比为2的等比数列。(2)求关于n的表达式。

(3)请猜测是否存在自然数，对于所有的有恒成立，并证明。

解：(1)∵，∴解得

(2)∵，∴数列的通项公式为∴

∵函数在和上分别是单调减函数，

∴当时，∴数列中的最大项是，最小项是

(2)由得又函数在和上分别是单调减函数，且时；时.

∵对任意的，都有，∴ ∴

∴的取值范围是

5．如图，公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上.(1)设AD＝x(x≥0)，ED＝y，求用x表示y的函数关系式；

(2)如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？请予证明.

解：(1)在△ADE中，y²＝x²+AE²－2x·AE·cos60°y²＝x²+AE²－x·AE,①

又S_△ADE＝ S_△ABC＝a²＝x·AE·sin60°x·AE＝2.②

②代入①得y²＝x²+－2(y＞0), ∴y＝(1≤x≤2).

(2)如果DE是水管y＝≥,

当且仅当x²＝，即x＝时“＝”成立，故DE∥BC，且DE＝.

如果DE是参观线路，记f(x)＝x²+，可知函数在[1，]上递减，在[，2]上递增，故f(x) _max＝f(1)＝f(2)＝5.　 ∴y _max＝.即DE为AB中线或AC中线时，DE最长.