5．解: (1)设,则由,可得解得或.又,且故,

(2由可知直线OB的方程为可知圆心为,半径为.设圆心关于直线OB的对称点坐标为,由

解得,故所求圆的方程为

(3)　　　　　 假设椭圆上存在两点关于直线对称,

设其中点坐标为由已知直线的方程为,可设直线AB的方程为

将其与已知椭圆方程联立得.

由韦达定理知,.中点在圆的内部可知 　　解得.又在直线上,故,解得代入解得即存在满足题意的实数其取值范围为

4． 四边形PMNQ为⊙O的内接梯形，圆心O在MN上，向量与的夹角为150°，

　 (1)求⊙O的方程

　 (2)求以M、N为焦点且过P、Q两点的椭圆方程

(1)以MN所在直线为x轴，MN的中垂线为y轴建立如图所示的直角坐标系

　　　 ∵ 与夹角为150°，∴ 与夹角为30°

　　 ∴∠QMN=∠QPN=30°，∴∠OQM=∠OMQ=30°

　　 设⊙O的半径为R，则QM=

　　 (亦可由Rt△MQN中得)

　　 ∵　　　　　 ∴　　　 ∴R²=4　 ∴⊙O方程为x²+y²=4

　　 (2)∠QON=60°　　 ∴Q(OQcos60°，OQsin60°)　 即Q(1，)，∴P(－1，)

　　 设所求椭圆方程为　 ∵其焦点坐标为(±2，0)，点P，Q在椭圆上

　　 ∴　　　　　 ∴　　 ∴椭圆方程为

3．如图，在平面直角坐标系中，N为圆A：上的一动点，点B(1，0)，点M是BN中点，点P在线段AN上，且

(I)求动点P的轨迹方程；

(II)试判断以PB为直径的圆与圆=4的位置关系，并说明理由.

解(I)解：由点M是BN中点，又，

　　　 可知PM垂直平分BN.所以|PN|=|PB|，又|PA|+|PN|=|AN|，所以|PA|+|PB|=4.

由椭圆定义知，点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆.，设椭圆方程为，由2a=4，2c=2，可得a²=4，b²=3.可知动点P的轨迹方程为

(II)解：设点的中点为Q，则，

，

即以PB为直径的圆的圆心为，半径为，

又圆的圆心为O(0，0)，半径r₂=2，

又

=，故|OQ|=r₂－r₁，即两圆内切.

2．已知圆：.

(1)直线过点，且与圆交于、两点，若，求直线的方程；

(2)过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，求动点的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.

　解(Ⅰ)①当直线垂直于轴时，则此时直线方程为，与圆的两个交点坐标为和

其距离为，满足题意

②若直线不垂直于轴，设其方程为，即　 设圆心到此直线的距离为，则，得∴，，故所求直线方程为　 综上所述，所求直线为或　

(Ⅱ)设点的坐标为，点坐标为则点坐标是

∵，∴　 即，

　又∵，∴由已知，直线m //ox轴，所以，

∴点的轨迹方程是， 轨迹是焦点坐标为，长轴为8的椭圆，并去掉两点。

1．将圆按向量a=(－1，2)平移后得到⊙O，直线l与⊙O相交于A、B两点，若在⊙O上存在点C，使 =λa，求直线l的方程及对应的点C的坐标．

解：圆化为标准方程为，按向量a＝(－1，2)平移得⊙O方程为 x²+y²＝5．∵＝λa，且||＝||，∴⊥，∥a．

∴k_AB＝．设直线l的方程为y＝x+m，联立，得

将方程(1)代入(2)，整理得5x²+4mx+4m²－20＝0．(※)设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则 x₁+x₂＝－，y₁+y₂＝，＝(－，)． 因为点C在圆上，所以，解之，得．

此时，(※)式中的△＝16m²－20(4m²－20)＝300＞0．所求的直线l的方程为2x－4y+5＝0，对应的C点的坐标为(－1，2)；或直线l的方程为2x－4y－5＝0，对应的C点的坐标为(1，－2)．

4．解(Ⅰ)∵　　 ∴　 　∴　 (Ⅱ)在上式中，令得：∴圆心．又∵．∴外接圆的方程为

(Ⅲ)∵∵圆过点，∴是该圆的半径，又∵动圆与圆内切，∴即．∴点的轨迹是以为焦点，长轴长为3的椭圆．

_∴， ，∴轨迹方程为．　

赣马高级中学解答题专题训练20

解析几何(三)　 编写：刘建自　 审核：王怀学

3．解：(Ⅰ)依题意，有()，化简得

()，

这就是动点的轨迹的方程；

　　　 (Ⅱ)依题意，可设、、，则有

，两式相减，得，由此得点的轨迹方程为()．　　 设直线：(其中)，则

，

故由，即，解之得的取值范围是．

2．已知直线所经过的定点恰好是椭圆的一个焦点,且椭圆上的点到点的最大距离为8.

　 (Ⅰ)求椭圆的标准方程；(7分)

　 (Ⅱ)已知圆,直线.试证明当点在椭圆上运动时,直线与圆恒相交；并求直线被圆所截得的弦长的取值范围. (8分)

　解: (Ⅰ)由,得,

　 则由,解得F(3,0).　 设椭圆的方程为,则,解得　　 所以椭圆的方程为

　 (Ⅱ)因为点在椭圆上运动,所以,　 从而圆心到直线的距离.　　 所以直线与圆恒相交

　　　 又直线被圆截得的弦长为

由于,所以,则,

即直线被圆截得的弦长的取值范围是

1．已知：以点为圆心的圆与轴交于点，与轴交于点、，其中为原点。求证：的面积为定值；

(2)　　　 设直线与圆交于点，若，求圆的方程。

解：(1)，。设圆的方程是　 　

　　　　 令，得；令，得

，即：的面积为定值。

　 (2)垂直平分线段。 ，直线的方程是　　 ，解得：　 当时，圆心的坐标为，，　　 此时到直线的距离，圆与直线相交于两点。当时，圆心的坐标为，，此时到直线的距离，圆与直线不相交，不符合题意舍去。圆的方程为

5．已知平面区域恰好被面积最小的圆及其内

部所覆盖．

(Ⅰ)试求圆的方程.

(Ⅱ)若斜率为1的直线与圆C交于不同两点满足,求直线的方程.

解:(1)由题意知此平面区域表示的是以构成的三角形及其内部,且△是直角三角形,所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆,故圆心是(2,1),半径是,所以圆的方程是. 　

　(2)设直线的方程是:. 　

　　 因为,所以圆心到直线的距离是, 即

解得:.所以直线的方程是:.

赣马高级中学解答题专题训练19答案