例1．已知双曲线：，是右顶点，是右焦点，点在轴正半轴上，且满足成等比数列，过点作双曲线在第一、三象限内的渐近线的垂线，垂足为，

(1)求证：；

(2)若与双曲线的左、右两支分别交于点，求双曲线的离心率的取值范围．

(1)证明：设：，

由方程组得，

∵成等比数列，∴，

∴，，，

∴，，∴．

(2)设，

由得，

∵，∴，∴，即，∴．

所以，离心率的取值范围为．

例2．如图，过抛物线的对称轴上任一点作直线与抛物线交于两点，点是点关于原点的对称点，

(1)设点分有向线段所成的比为，证明：；

(1)　　 设直线的方程是，过两点的圆与抛物线在点处有共同的切线，求圆的方程．

(2)　　 　

解：(1)设直线的方程为，代入抛物线方程得

设，则，

∵点分有向线段所成的比为，得，∴，

又∵点是点关于原点的对称点，∴，∴，

∴

∴

∴．

(2)由得点，

由得，∴，∴抛物线在点处切线的斜率为，

设圆的方程是，

则，

解得，

∴圆的方程是，即．

5．已知为抛物线上三点，且，，当点在抛物线上移动时，点的横坐标的取值范围是．

4．已知直线与椭圆相交于两点，若弦中点的横坐标为，则双曲线的两条渐近线夹角的正切值是．

3．中，为动点，，，且满足，则动点的轨迹方程是()

2．椭圆与轴正半轴、轴正半轴分别交于两点，在劣弧上取一点，则四边形的最大面积为()

1．设抛物线，线段的两个端点在抛物线上，且，那么线段的中点到轴的最短距离是()

7．如图，在平行六面体ABCD－A₁B₁C₁D₁的中，A₁C₁B₁D₁＝O₁，B₁D平面A₁BC₁＝P．

求证：P∈BO₁．

证明　 　在平行六面体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，

∵B₁D平面A₁BC₁＝P，∴P∈平面A₁BC₁，P∈B₁D．

∵B₁D平面BB₁D₁D．∴P∈平面A₁BC₁，且P∈平面BB₁D₁D．

∴P∈平面A₁BC₁平面BB₁D₁D，

∵A₁C₁B₁D₁＝O₁，A₁C₁平面A₁BC₁，B₁D₁平面BB₁D₁D，

∴O₁∈平面A₁BC₁，且O₁∈平面BB₁D₁D．

又B∈平面A₁BC₁，且B∈平面BB₁D₁D，

∴平面A₁BC₁平面BB₁D₁D＝BO₁．∴P∈BO₁．

说明一般地，要证明一个点在某条直线上，只要证明这个点在过这条直线的两个平面上．

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6．如图，P、Q、R分别是正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱AA₁，BB₁，DD₁上的三点，试作出过P，Q，R三点的截面图．

作法　 ⑴连接PQ，并延长之交A₁B₁的延长线于T；

⑵连接PR，并延长之交A₁D₁的延长线于S；

⑶连接ST交C₁D₁、B₁C₁分别于M，N，则线段MN

为平面PQR与面A₁B₁C₁D₁的交线．

⑷连接RM，QN，则线段RM，QN分别是平面PQR与面DCC₁D₁，面BCC₁B₁的交线．

得到的五边形PQNMR即为所求的截面图(如图4)．

说明　 求作二平面的交线问题，主要运用公理1．

解题关键是直接或间接找出二平面的两个确定的公共点．

有时同时还要运用公理2、3及公理的推论等知识．

5．如图，P、Q、R分别是四面体ABCD的棱AB，AC，AD上的点，若直线PQ与直线BC的交点为M，直线RQ与直线DC的交点为N，直线PR与直线DB的交点为L，试证明M，N，L共线．

证明：易证M，N，L∈平面PQR，且M，N，L∈平面BCD，

所以M，N，L∈平面PQR平面BCD，即M，N，L共线．

4．四边形中，，则成为空间四面体时，的取值范围是　　　　　 ．

答案：．