4．离心率

椭圆的焦距与长轴长的比，叫做椭圆的离心率．∵a＞c＞0，∴0＜e＜1．

练习 教科书P.41练习第5题．

例1 求椭圆16x²+25y²＝400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用

描点法画出它的图形．

解：把已知方程化成标准方程这里a＝5，b＝4，所以

椭圆的长轴和短轴的长分别是2a＝10和2b＝8，.

焦点为F₁(－3, 0)、F₂(3, 0)，顶点是A₁(−5,0)、A₂(5,0)，B₁(0,−4)、B₂(0,4)．

把已知方程化成标准方程

先描点画出椭圆的一部分，再利用椭圆的对称性质画出整个椭圆．

椭圆的简单作法:

(1) 以椭圆的长轴、短轴为邻边画矩形；

(2) 由矩形四边的中点确定椭圆的四个顶点；

(3) 用曲线将四个顶点连成一个椭圆.

例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1) 经过点P(－3, 0)、Q(0,－ 2);　　　

解：(1)由椭圆的几何性质可知，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点.

即P、Q分别是椭圆长轴和短轴的一个端点. 于是得a＝3，b＝2.

又因为长轴在x轴上，所以椭圆的标准方程是

　(2) 由已知，2a＝20 ，∴a＝10 ，c＝6. ∴b²＝10²－6²＝64.

∵椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上,

∴所求椭圆的标准方程为

练习 求经过点P (4, 1)，且长轴长是短轴长的2倍的椭圆的标准方程.

解：

依题意有　 得

故椭圆方程为

[课后作业]

3．顶点

只须令x＝0，得y＝±b，点B₁(0,－b)、B₂(0, b)是椭圆和y轴的两个交点；令y＝0，

得x＝±a，点A₁(－a,0)、A₂(a,0)是椭圆和x轴的两个交点．椭圆有四个顶点：A₁(－a, 0)、

A₂(a, 0)、B₁(0, －b)、B₂(0, b)．椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点．

线段A₁A₂、B₁B₂分别叫做椭圆的长轴和短轴.

长轴的长等于2a. 短轴的长等于2b.a叫做椭圆的

长半轴长．b叫做椭圆的短半轴长．

|B₁F₁|＝|B₁F₂|＝|B₂F₁|＝|B₂F₂|＝a．

在Rt△OB₂F₂中，|OF₂|²＝|B₂F₂|²－|OB₂|²，

即c²＝a²－b²．

小　 结 ：

由椭圆的范围、对称性和顶点，再进行描点画图，只须描出较少的点，就可以得到较

正确的图形.

2．对称性

在椭圆的标准方程里，把x换成－x，或

把y换成－y，或把x、y同时换成－x、－y时，

方程有变化吗？这说明什么？

椭圆关于y轴、x轴、原点都是对称的．

坐标轴是椭圆的对称轴．

原点是椭圆的对称中心．

椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．

1．范围

椭圆上点的坐标(x, y)都适合不等式即x²≤a²，y²≤b²，∴|x|≤a，|y|≤b．

椭圆位于直线x＝±a和y＝±b围成的矩形里．

2. 椭圆的标准方程是什么？

[讲授新课]

利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质．以焦点在x轴上椭圆为例

(a＞b＞0)．

1. 椭圆的定义是什么？　　　　　　

2.1.2椭圆的简单几何性质(一)

教学目标： 椭圆的范围、对称性、对称中心、离心率及顶点(截距).

重点难点分析

教学重点：椭圆的简单几何性质.

教学难点：椭圆的简单几何性质.

教学设计：

[复习引入]

1.　　　 已知椭圆mx²+5y²＝5m的离心率

思考　 F₁、F₂ 为椭圆的两个焦点，过F₂的直线交椭圆于P、Q两点，PF₁⊥PQ，且|PF₁|＝|PQ|，求椭圆的离心率.

[课后作业]

《习案》学案十一，习案十二1、2.

备讲题

例6 已知点M为椭圆的上任意一点，F₁、F₂分别为左右焦点； A点坐标为(1，2) ，求的最小值.

变式1：求的最小值；

变式2：求的最小值；

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2.点P与定点F(2，0)的距离与它到定直线x=2的距离之比为1：2，求点P的轨迹方程.

例3 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分．过对称的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F₁上，片门位于另一个焦点F₂上，由椭圆一个焦点F₁发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F₂．已知

．建立适当的坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程．

例4如图所示，我国发射的第一颗人造地球卫星运行轨道是以地心(地球的中心)F₂为一个焦点的椭圆，已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面439km，远地点B(离地面最远的点)距地面2384km，并且F2、A、B在同一直线上，地球半径约为6371km，求卫星运行的轨道方程(精确到1km)．

例5 求适合下列条件的椭圆的离心率.

(1) 从短轴端点看两个焦点，所成视角为直角；

(2) 两个焦点间的距离等于长轴的端点与短轴的端点间的距离.

练习3