4．在棱长为1的正四面体ABCD中，E, F分别是 BC, AD的中点，则(　　 )

　　　 A． 0　　　　 　　　　 B． 　　　　　　　 C．　 　　　　　　 D．

3．若 则是的　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．充分不必要条件 　　　　　　　　　　　　　　　 B．必要不充分条件

　　　 C．充要条件 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．既不充分又不必要条件

2．已知空间三点O(0，0, 0), A(-1, 1, 0), B(0, 1, 1), 在直线OA上有一点H满足BH⊥OA，则点H的坐标为　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．(-2, 2, 0)　 　　　　　 B．(2, -2, 0)　 　　　　 C．　　　　　 D．

1．平行六面体 中，E,F,G,H,P,Q是 的中点，则A　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　 A．　　 　　　　　　　　 B．

　　　　 C．　　　 　　　　　　　 D．

22．(本小题满分14分)

解：由已知，得A(0, 0, 0), B(a, 0, 0), C(a, a, 0), D(0, 2a, 0)．……………………2分

∵PA⊥面ABCD，PD与面ABCD成30°，∴∠PDA=30°。∴P(0, 0, a)。…………3分

过E作EF⊥AD，垂足为F，则AE=a，∠EAF=60°，AF=a，EF=a。

∴E(0, a, a)　 ………………………………4分

(I)BE=(﹣a，a, a)，　　　　

PD=(0, 2a,，﹣a)

∴BE·PD=a·2a+a·(﹣a) =0　　 ∴BE⊥PD。…………6分

(II)AE=(0，a, a)，CD=(﹣a，a，0)，

∴cos<AE, CD> =。

∴异面直线AE与CD所成的角为arccos。…………………………10分

(III)∵n⊥平面PCD，∴n⊥PD，n⊥CD，

又n=(1，p,q), PD=(2, 2a, ﹣a), CD=(﹣a, a, 0),

∴n·PD=0·1+2a·p－a·q=0，

n·CD=1·(﹣a)+a·p+q·0=0，…………………………12分

即　 p－q=0　　　 ∴　 p=1

　　 　p－1=0　　　　　　　　 q=，

即n的坐标为(1, 1, )。…………………………14分

21．(满分14分)

解：(Ⅰ)由正方形ACC₁A₁与等腰直角△ACB互相

垂直，∠ACB=90°，∴BC⊥AC，∴BC⊥CC₁．以C

为坐标原点，建立空间直角坐标系C-xyz，如图．(2分)

设AC=CB=a，AG=x，则A(0，a，0)．

C₁(0，0，a)，G(0，a，x)，E(-，，0)．

AC₁=(0，-a，a)，EG=(-，，x)．(4分)

∵AC₁·EG=0，∴-+xa=0．　 ∴x=，∴G为AA₁的中点．(7分)

(Ⅱ)∵G(0，a，)，F(，0，0)，

　∴GF=(，-a，-)，AC₁=(0，-a，a)．(9分)

∴ | GF | =a，| AC₁ | =a，∴GF·AC₁=a²-=．

∴cos＜AC₁，GF＞=．(14分)

20．解法一：如图建立空间直角坐标系，　　　　

由题意，有，，

设D点的坐标为，

则，　　　　　　

则，

　 且所成的角的大小为．

∴， 得，故BD的长度是4，　　　　　　　　

又， 因此四面体ABCD的体积是，　　　　　　　

解法二：过A引BE的平行线，交CB的延长线于F，∠DAF是异面直线BE与AD所成的角．

∴∠DAF=，　　　　　　　　　

∵E是AC的中点，∴B是CF的中点，　 AF=2BE=．　　　　　　　　　　　　　

又BF，BA分别是DF，DA的射影，且BF=BC=BA， ∴DF=DA　　　　　　　　　　　　　　　　　

三角形ADF是等腰三角形，

AD=，　 故 ，　　　　　　　　　

　 因此四面体ABCD的体积是．

19．解：如图　 建立空间直角坐标系，则B(0,0,0), A(1,0,0), M

　 　　N

　(0<a<),

∴当a=,即M,N分别是AC,BF的中点时，MN最小，此时，M

MN的中点G

　则

是二面角的平面角。

故所求二面角=arccos．

18．解：由已知，有 且

　　 ．要使P′,P重合，应有

　 ，．

　 ∴符合条件的不动点存在。

17．解：

　　 得=