4. 在北纬45°的纬度圈上有甲、乙两地，两地经度差为90°，则甲、乙两地最短距离为(设地球半径为)(　 )

.　　　 　　　. 　　　　　　　.　　　 　　　.

3. 集合中元素个数为(　 )

.2个　　　 　　　　.3个　　　　 　　　.4个　　　 　　　.5个

2. 展开式中，二项式系数最大的项是(　 )

　　　 .第n-1项　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 .第n项　　　

　　　 .第n-1项与第n+1项　　　 　　　　　 　　　　.第n项与第n+1项

1. 将四名教师分配到三个班级去参加活动，要求每班至少一名的分配方法有(　 )

.72种　　　 　　　　.48种　　 　　　　.36种　　　 　　　.24种

20.(本小题满分10分)　

已知双曲线中心在原点，焦点在x轴上，过左焦点F₁作倾斜角为30°的直线l，交双曲线于A，B两点，F₂为双曲线的右焦点，且AF₂⊥x轴，如图.

(Ⅰ)求双曲线的离心率；

(Ⅱ)若|AB|＝16，求双曲线的标准方程.

[解](Ⅰ)设双曲线方程为.

由已知∠AF₁F₂＝30°，∠A F₂F₁＝90°. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1分)

在Rt△AF₂F₁中，， .　　 　(3分)

因为|AF₁|－|AF₂|＝2a，所以，即，所以. (5分)

(Ⅱ)因为，所以，从而双曲线方程化为，

即.　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(6分)

因为右焦点为F₂(，0)，则直线l的方程为.代人双曲线方程，得

，即.　　　　　 　　　　　　　　(7分)

设点A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则.　　　　　　　　　　 (8分)

所以

.　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　(9分)

因为|AB|＝16，所以a＝5，从而.故双曲线方程是.　　 　(10分)

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19.(本小题满分8分)

　某汽车制造厂有一条价值为60万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高其生产能力，进而提高产品的增加值.已知投入万元用于技术改造，所获得的产品的增加值为万元，并且技改投入比率.

(Ⅰ)求技改投入的取值范围；

(Ⅱ)当技改投入多少万元时，所获得的产品的增加值为最大，其最大值为多少万元？

[解](Ⅰ)由.　　　　　 (3分)

故技改投入的取值范围是(0，50]. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(4分)

(Ⅱ)设，. 则

. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(5分)

由，得；由，得.　　　　　　　　　　　　 (6分)

所以在区间(0，40]内是增函数，在区间[40，50]内是减函数，从而当x＝40时取最大值. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(7分)

又，故当技改投入40万元时，所获得的产品的增加值为最大，其最大值为32000万元.　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(8分)

18.(本小题满分8分)

　　 已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，长轴长等于12，离心率为.

(Ⅰ)求椭圆的标准方程；

(Ⅱ)过椭圆左顶点作直线l，若动点M到椭圆右焦点的距离比它到直线l的距离小4，求点M的轨迹方程.

[解](Ⅰ)设椭圆的半长轴长为a，半短轴长为b，半焦距为c.

　 由已知，2a＝12，所以a＝6.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1分)

又，即a＝3c，所以3c＝6，即c＝2. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2分)

于是b²＝a²－c²＝36－4＝32.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (3分)

　 因为椭圆的焦点在x轴上，故椭圆的标准方程是.　　　　　　　　　　　 (4分)

(Ⅱ)法一：因为a＝6，所以直线l的方程为x＝－6，又c＝2，所以右焦点为F₂(2，0). 　(5分)

过点M作直线l的垂线，垂足为H，由题设，|MF₂|＝|MH|－4.

　 设点M(x，y)，则.　　　　　　　　　　　　 (6分)

两边平方，得，即y²＝8x.　　　　　　　　　　　　　　　　 (7分)

故点M的轨迹方程是y²＝8x.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (8分)

　 法二：因为a＝6，c＝2，所以a－c＝4，从而椭圆左焦点F₁到直线l的距离为4. 　　　　(5分)

由题设，动点M到椭圆右焦点的距离与它到直线x＝－2的距离相等，所以点M的轨迹是以右焦点为F₂(2，0)为焦点，直线x＝－2为准线的抛物线.　　　　　　　　　　　　　　　　　 (7分)

显然抛物线的顶点在坐标原点，且p＝|F₁F₂|＝4，故点M的轨迹方程是y²＝8x.　　　　 (8分)

17.(本小题满分8分)

　 已知函数.

(Ⅰ)确定函数的单调区间，并指出其单调性；

(Ⅱ)求函数的图象在点x＝1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积.

[解](Ⅰ).　　　　　　 (1分)

由，得x²－2x－3＜0，即(x+1)(x－3)＜0，所以0＜x＜3. 　　　　　　　　　(2分)

由，得x²－2x－3＞0，即(x+1)(x－3)＞0，所以x＞3. 　　　　　　　　　　(3分)

故在区间(0，3)上是增函数，在区间(3，+∞)上是减函数. 　　　　　　　　　　　(4分)

(Ⅱ)因为，，　　　　　　　　　　　　　 (5分)

所以切线的方程为，即.　　　　　　　　　　　　　　 (6分)

　 从而切线与两坐标轴的交点坐标为和. 　　　　　　　　　　　　　　　　(7分)

　 故切线与两坐标轴所围成的三角形的面积.　　　　　　　　　　 (8分)

16.(本小题满分6分)

　 　已知含有量词的两个命题p和q，其中命题p：任何实数的平方都大于零；命题q：二元一次方程2x+y＝3有整数解.

(Ⅰ)用符号“”与“”分别表示命题p和q；

(Ⅱ)判断命题“(﹁p)∧q”的真假，并说明理由.

[解](Ⅰ)命题p：x∈R，x²＞0；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1分)

命题q：x₀∈Z且y₀∈Z，2x₀+y₀＝3.　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (3分)

(Ⅱ)因为当x＝0时，x²＝0，所以命题p为假命题，从而命题﹁p为真命题. 　　　　　　(4分)

　　　 因为当x₀＝2，y₀＝－1时，2x₀+y₀＝3，所以命题q为真命题.　　　　　　　　　　 (5分)

　　　 故命题“(﹁p)∧q”是真命题.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (6分)

15.已知动点M分别与两定点A(1，0)，B(－1，0)的连线的斜率之积为定值m(m≠0)，若点M的轨迹是焦点在x轴上的椭圆(除去点A、B)，则m的取值范围是(－1，0)；若点M的轨迹是离心率为2的双曲线(除去点A、B)，则m的值为　 3　 .