1.复习不等式的性质时，要克服“想当然”和“显然成立”的思维定势，要以比较准则和实数的运算法则为依据.

5.理解不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.

●复习方略指南

本章内容在高考中，以考查不等式的性质、证明、解法和最值方面的应用为重点，多数是与函数、方程、三角、数列、几何综合在一起被考查，单独考查不等式的问题较少，尤其是不等式的证明题.

借助不等式的性质及证明，主要考查函数方程思想、等价转化思想、数形结合思想及分类讨论思想等数学思想方法.含参数不等式的解法与讨论，不等式与函数、数列、三角等内容的综合问题，仍将是今后高考命题的热点.

本章内容理论性强，知识覆盖面广，因此复习中应注意：

4.掌握不等式的解法.

3.掌握比较法、分析法、综合法证明简单的不等式.

2.掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单地应用.

1.理解不等式的性质及应用.

9.如下图，已知△OFQ的面积为S，且与的数量积等于1，

(1)若＜S＜2，求向量与的夹角θ的取值范围；

(2)设||=c(c≥2)，S=c，若以O为中心，F为焦点的椭圆经过点Q，当||取得最小值时，求此椭圆的方程.

解：(1)tanθ=2S.又∵＜S＜2，

∴1＜tanθ＜4.∴＜θ＜arctan4.

(2)以O为原点，所在直线为x轴建立坐标系，

设椭圆方程为+=1(a＞b＞0)，

点Q(x₁，y₁)，则=(x₁－c，y₁).

又∵△OFQ的面积为||·y₁=c，

∴y₁=.又由·=1，解得x₁=c+.

||==(c≥2).

设f(c)=c+，则(c)=1－=.

当c≥2时，(c)＞0，∴f(c)在［2，+∞)上递增，∴当c=2时，||最小，

此时Q(，)，由此可得

a²=10，b²=6.

∴椭圆方程为=1.

●思悟小结

向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观，向量本身是一个数形结合的产物，因此在向量的复习中要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合.应用向量可以解决平面几何中的一些问题，在物理和工程技术中应用也很广泛.

●教师下载中心

教学点睛

教材中安排了解三角形应用举例和实习作业，根据新教材突出应用这一显著特点，教学中应充分利用这些素材，使学生受到把实际问题抽象成数学问题的训练，渗透数学建模思想，培养学生分析、解决实际问题的能力.

拓展题例

[例1] 已知a=(x²，x)，b=(x，x－3)，x∈［－4，4］.

(1)求f(x)=a·b的表达式；

(2)求f(x)的最小值，并求此时a与b的夹角.

解：(1)f(x)=a·b=x²·x+x·(x－3)=x³+x²－3x，x∈［－4，4］.

(2)(x)=x²+2x－3=(x+3)(x－1).

列表：

x	－4	(－4，－3)	－3	(－3，1)	1	(1，4)	4
(x)		+	0	－	0	+
f(x)		↑	极大值9	↓	极小值－	↑

故当x=1时，f(x)有最小值为－.

此时a=(，1)，b=(1，－2).

设θ为a与b的夹角，则cosθ==－.

又由θ∈［0，π］，得θ=.

[例2] 如图所示，对于同一高度(足够高)的两个定滑轮，用一条(足够长)绳子跨过它们，并在两端分别挂有4 kg和2 kg的物体，另在两个滑轮中间的一段绳子悬挂另一物体，为使系统保持平衡状态，此物体的质量应是多少?(忽略滑轮半径、绳子的重量)

分析：先进行受力分析，列出平衡方程，然后用数学方法求解.

解：设所求物体质量为m kg时，系统保持平衡，再设F₁与竖直方向的夹角为θ₁，F₂与竖直方向的夹角为θ₂，则有

(其中g为重力加速度).

由①式和②式消去θ₂，得

m²－8mcosθ₁+12=0，

即m=4cosθ₁±2.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ③

∵cosθ₂＞0，由②式知，③式中m=4cosθ₁－2不合题意，舍去.

又∵4cos²θ₁－3≥0，解得≤cosθ₁≤1.

经检验，当cosθ₁=时，cosθ₂=0，不合题意，舍去.

∴2＜m＜6.

综上，所求物体的质量在2 kg到6 kg之间变动时，系统可保持平衡.

评注：(1)m的范围是通过函数y=4x+2的单调性求得的.(2)实际问题的处理要注意变量的实际意义，本题容易忽略cosθ₂＞0的实际限制.

8.如图，已知△ABC的顶点坐标依次为A(1，0)，B(5，8)，C(7，－4)，在边AB上有一点P，其横坐标为4，在AC上求一点Q，使线段PQ把△ABC分成面积相等的两部分.

解：设P分的比为λ₁，则

4=λ₁=3，

即=3，=.

又

=·=，

∴=，即=2.

设λ₂=，则λ₂=2.∴x_Q==5，

y_Q==－.∴Q(5，－).

探究创新

7.已知A(4，0)，N(1，0)，若点P满足·=6||.

(1)求点P的轨迹方程，并说明该轨迹是什么曲线；

(2)求||的取值范围；

(3)若M(－1，0)，求∠MPN在［0，π］上的取值范围.

解：(1)设P(x，y)，=(x－4，y)，=(1－x，－y)，=(－3，0)，∵·=6||，

∴－3(x－4)=6，即3x²+4y²=12.

∴=1.∴P点的轨迹是以(－1，0)、(1，0)为焦点，长轴长为4的椭圆.

(2)N(1，0)为椭圆的右焦点，x=4为右准线，设P(x₀，y₀)，P到右准线的距离为d，d=4－x₀，=e=，|PN|=d=.∵－2≤x₀≤2，∴1≤|PN|≤3.

当|PN|=1时，P(2，0)；当|PN|=3时，P(－2，0).

(3)令|PN|=t(1≤t≤3)，

则|PM|=4－t，|MN|=2，

cos∠MPN==

=－1+.

由1≤t≤3，得3≤t(4－t)≤4，

∴≤cos∠MPN≤1.∴0≤∠MPN≤.

6.如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上.∠ACW=150°，∠BCW=120°，求A和B处所受力的大小.(忽略绳子重量)

解：设A、B处所受力分别为f₁、f₂，10 N的重力用f表示，则f₁+f₂=f.以重力作用点C为f₁、f₂的始点，作平行四边形CFWE，使CW为对角线，则=f₁，=f₂，=f，则∠ECW=180°－150°=30°，

∠FCW=180°－120°=60°，∠FCE=90°.

∴四边形CEWF为矩形.

∴||=||cos30°=10·=5，

｜｜=||cos60°=10×=5.

∴A处受力为5 N，B处受力为5 N.

培养能力