21．(本小题满分14分，第一小问满分4分，第二、第三小问满分各5分)设函数 (a、b、c、d∈R)图象关于原点对称，且x=1时，取极小值

　 (1)求a、b、c、d的值；

　 (2)当时，图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论；

　 (3)若时，求证：.

解(1)∵函数图象关于原点对称，∴对任意实数，

，即恒成立

　，

时，取极小值，解得

　 (2)当时，图象上不存在这样的两点使结论成立.

假设图象上存在两点、，使得过此两点处的切线互相垂直，

则由知两点处的切线斜率分别为，

且　　　 ( *)

、，

此与(*)相矛盾，故假设不成立.

证明(3)，

或，

上是减函数，且

∴在[－1，1]上，时，

.

20．(本小题满分12分，第一、第二小问满分各6分)

如图，在斜三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，侧面AA₁B₁B⊥底面ABC，侧棱AA₁与底面ABC成60⁰的角， AA₁= 2．底面ABC是边长为2的正三角形，其重心为G点。E是线段BC₁上一点，且BE=BC₁ ．

(1)求证： GE∥侧面AA₁B₁B ；

(2)求平面B₁GE与底面ABC所成锐二面角的大小 ．

解：(1)延长B₁E交BC于F,　 ∵ΔB₁EC∽ΔFEB,　BE＝EC₁

∴BF＝B₁C₁＝BC，从而F为BC的中点．　

∵G为ΔABC的重心，∴A、G、F三点共线，且＝　 ＝，∴GE∥AB₁，

又GE侧面AA₁B₁B， ∴GE∥侧面AA₁B₁B　　　

(2)在侧面AA₁B₁B内，过B₁作B₁H⊥AB，垂足为H，∵侧面AA₁B₁B⊥底面ABC，

∴B₁H⊥底面ABC．又侧棱AA₁与底面ABC成60⁰的角， AA₁= 2，

∴∠B₁BH＝60⁰，BH＝1，B₁H＝．

在底面ABC内，过H作HT⊥AF，垂足为T，连B₁T．由三垂线定理有B₁T⊥AF，

又平面B₁GE与底面ABC的交线为AF，∴∠B₁TH为所求二面角的平面角．

∴AH＝AB+BH＝3，∠HAT＝30⁰，　∴HT＝AHsin30⁰＝，

在RtΔB₁HT中，tan∠B₁TH＝＝　，

从而平面B₁GE与底面ABC所成锐二面角的大小为arctan　

19. (文科做本小题满分12分，第一、第二小问满分各6分)已知某种从太空飞船中带回的植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子，假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的．

(1) 第一小组做了三次实验，求至少两次实验成功的概率；

(2) 第二小组进行试验，到成功了4次为止，求在第四次成功之前共有三次失败，且恰有两次连续失败的概率．

解：(1) 第一小组做了三次实验，至少两次实验成功的概率是

．　　　　　　　　　　　　　　　　

(2) 第二小组在第4次成功前，共进行了6次试验，其中三次成功三次失败，且恰有两次连续失败，其各种可能的情况种数为．因此所求的概率为

．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(理科做本小题满分12分第一、第二小问满分各6分)某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.

(Ⅰ)求ξ的分布及数学期望；

(Ⅱ)记“函数f(x)＝x²－3ξx+1在区间[2，+∞上单调递增”为事件A，求事件A的概率.

解：(I)分别记“客人游览甲景点”，“客人游览乙景点”，“客人游览丙景点”

为事件A₁，A₂，A₃. 由已知A₁，A₂，A₃相互独立，P(A₁)=0.4，P(A₂)=0.5，P(A₃)=0.6.

　　 客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3. 相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为3，2，1，0，所以的可能取值为1，3.

P(=3)=P(A₁·A₂·A₃)+ P()

= P(A₁)P(A₂)P(A₃)+P()

=2×0.4×0.5×0.6=0.24，

1　　 3　 P 0.76 0.24

　　　　 所以的分布列为

　　 E=1×0.76+3×0.24=1.48.

(Ⅱ)解法一　 因为

所以函数上单调递增，

要使上单调递增，当且仅当

从而

解法二：的可能取值为1，3.

当=1时，函数上单调递增，

当=3时，函数上不单调递增，

所以

18．(本小题满分12分，第一、第二小问满分各6分)

某港口水的深度 y(米)是时间t(，单位：时)的函数，记作y=f(t)，下面是某日水深的数据：

经长期观察，y=f(t)的曲线可以近似地看成函数的图象.

(Ⅰ)试根据以上数据，求出函数的近似表达式；

(Ⅱ)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)，某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5米.如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间)．

解：(Ⅰ)由已知数据，易知函数y=f(t)的周期T=12,振幅A=3, b=10

∴(0≤t≤24)

(Ⅱ)由题意，该船进出港时，水深应不小于5+6.5=11.5(米)　

∴

∴ 解得，

在同一天内，取k=0或1　

∴1≤t≤5或13≤t≤17　

∴该船最早能在凌晨1时进港，下午17时出港，在港口内最多停留16个小时。

17. (本小题满分12分，第一、第二、第三小问满分各4分)

已知函数.

(1)求的定义域;

(2)求该函数的反函数;

(3)判断的奇偶性.

解: 　(1) 故函数的定义域是(－1,1)

(2)由,得(R),所以,　　

所求反函数为　 ( R).　　　　　　　

(3) ==－,所以是奇函数.

16．如果直线与圆相交于两点,且点关于直线对称,则不等式组所表示的平面区域的面积为________.

提示： 两点,关于直线对称,

,又圆心在直线上

原不等式组变为作出不等式组表示的平面区域并计算得面积为.

15．定义一种运算“”对于正整数满足以下运算性质：

(1)；(2),则的值是　　　　

答案：

提示：设　 则且

　　 ，　 即，

14．函数的定义域是　　　　　 .

答案：(lg2，+∞)

提示：由已知得，即，所以.

13. (文科做)命题“若都是偶数，则是偶数”的否命题是_________　　　　　

答案：若不都是偶数，则不是偶数；

13．(理科做)

答案：　

提示：