22.

21. 已知常数a > 0，向量，，经过定点A (0，– a )以+为方向向量的直线与经过定点B (0，a)以+ 2为方向向量的直线相交于点P，其中∈R．

　 (Ⅰ)求点P的轨迹C的方程；

　 (Ⅱ)若，过E (0，1)的直线l交曲线C于M、N两点，求的取值范围．

解：(Ⅰ)设P点的坐标为(x，y)，则，，

　　　　　　　　　　 　 又，故，．

　　　　　　　　　　 　 由题知向量与向量平行，故(y + a) = ax．

　　　　　　　　　　 　 又向量与向量平行，故y – a = 2．

　　　　　　　　　　 　 两方程联立消去参数，得点P (x，y)的轨迹方程是

　　　　　　　　　　 　 (y + a)(y – a) = 2a²x²，即y² – a² = 2a²x²．　　 　　(6分)

　　　 　　 (Ⅱ)∵，故点P的轨迹方程为2y² – 2x² = 1，

　　　　　　　　　　 　 此时点E (0，1)为双曲线的焦点．

　　　　　　　　　　 　 ①若直线l的斜率不存在，其方程为x = 0，l与双曲线交于、

，此时．　 (8分)

　　　　　　　 ②若直线l的斜率存在，设其方程为y = kx + 1，代入2y² – 2x² = 1化简得

　　　　　　　　 2(k² – 1) x² + 4kx + 1 = 0．

∴直线l与双曲线交于两点，

∴△= (4k)² – 8 (k² – 1) > 0且k² – 1≠0．解得k≠±1．

设两交点为M (x₁，y₁)、N (x₂，y₂)，

则x₁ + x₂ =，x₁x₂ =．　　 (10分)

此时

= x₁x₂ + k²x₁x₂ = (k² + 1) x₁x₂ =．

当– 1 < k < 1时，k² – 1 < 0，故≤；

当k > 1或k < – 1时，k² – 1 > 0，故．

综上所述，的取值范围是∪．　 (13分)

20. 已知：tan= 2，求：

　(Ⅰ)tan的值；

　　 (Ⅱ)sin2的值．

解：(Ⅰ)== 2，∴tan．　　　 (5分)

　　　　　　　 　(Ⅱ)解法一：

　　　　　　　　　　 　 sin2+sin²+ cos²= sin²+ sin²+ cos²– sin²

　　　　　　　　　　 　 = 2sincos+ cos²　　　　　　　　　　　　 (8分)

　　　　　　　　　　 　 = 　　　　　 (11分)

　　　　　　　　　　 　 =．　　　　 (13分)

　 　　　　　 　(Ⅱ)解法二：

　　　　　　　　　　 　 sin2+ sin²+ cos2= sin2+ sin²+ cos²– sin²

　　　　　　　　　　 　 = 2sincos+ cos² (1)　　　　　　　　　　　　　　　　　 (8分)

　　　　　　　　　　 　 ∵tan=，∴为第一象限或第三象限角．

　　　　　　　　　　 　 当为第一象限角时，sin=，cos=，代入(1)得

　　　　　　　　　　 　 2sincos+ cos²=；　　　　　 (10分)

　　　　　　　　　　 　 当为第三象限角时，sin=，cos=，代入(1)得

　　　　　　　 2sincos+ cos²=．　　 (12分)

　　　　　　　　　　 　 综上所述：sin2+ sin²+ cos2=．　　　 (13分)

19. 已知直线：x – 2y + 3 = 0 ，那么直线的方向向量为(2，1)或等(注：只需写出一个正确答案即可)；过点(1，1)，并且的方向向量₂与₁满足₁·= 0，则的方程为2x + y – 3 = 0。

18. 把y = sinx的图象向左平移个单位，得到函数y = sin的图象；再把所得图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，而纵坐标保持不变，得到函数的图象。

17. 若| ， 且()⊥ ，则与的夹角是　　 ( B )

(A)　　　　 (B)　　　　 (C)　　　　 (D)

16. 已知，那么的值为，的值为。

15. 在中，已知，那么一定是( B )

A．直角三角形　 B．等腰三角形　 C．等腰直角三角形　 D．正三角形

14. 如果函数的最小正周期是T，且当时取得最大值，那么( A )

A．　 B．　 C．　 D．

13. 设平面上的动向量a=(s，t)，b=(－1，t²－k)其中s，t为不同时为0的两个实数，实

数，满足a⊥b，

　　　 (1)求函数关系式

　　　 (2)若函数上是单调增函数，求证：；

　　 (3)对上述，存在正项数列，其中通项公式并证明.

(1)解：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……3分

　　 　(2)证明：成立，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……2分

　　 　　　 故；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……1分

　 (3)

　　 　　　 故

　　　　 因为　　 ……4分

　　 　　　 事实上，

　　 　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……4分

　　　 方法1：

　　　 方法2：