⒄、(本小题满分12分)

已知为等比数列，，求的通项式。

⒅、(本小题满分12分)

的三个内角为，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值。

⒆、(本小题满分12分)

A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验。每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效。若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组。设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为。

(Ⅰ)求一个试验组为甲类组的概率；

(Ⅱ)观察3个试验组，求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率。

⒇、(本小题满分12分)

如图，、是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段。点A、B在上，C在上，。

(Ⅰ)证明⊥；

(Ⅱ)若，求与平面ABC所成角的余弦值。

(21)、(本小题满分12分)

设P是椭圆短轴的一个端点，为椭圆上的一个动点，求的最大值。

(22)、(本小题满分14分)

设为实数，函数在和都是增函数，求的取值范围。

全国卷Ⅰ文答案

⒀、已知函数，若为奇函数，则________。

⒁、已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角等于_______________。

⒂、设，式中变量满足下列条件

则z的最大值为_____________。

⒃、安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有__________种。(用数字作答)

⑴、已知向量满足，且，则与的夹角为

A．　　　　　　　 B．　　　　　 C．　　　　　 D．

⑵、设集合，，则

A．　　　　　　　　　　　　 B．

C．　　　　　　　　　　　　 D．

⑶、已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则

A．　　　　　　　　　 B．

C．　　　　　　　　　 D．

⑷、双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则

A．　　　　　　　 B．　　 　　　　C．　　　　　 D．

⑸、设是等差数列的前项和，若，则

A．　　　　　　　 B．　　　　　　　 C．　　　　　　 D．

⑹、函数的单调增区间为

A．　　　　　　 B．

C．　　　　　　 D．

⑺、从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为

A．　　　　　　　 B．　　　　　 C．　　　　　　 D．

⑻、的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且，则

A．　　　 　　　　　B．　　　　　 C．　　　　　　 D．

⑼、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是

A．　　　　　　 B．　　　　 C．　　　　　　 D．

⑽、在的展开式中，的系数为

A．　　　　　　 B．　　　　　 C．　　　　　　　 D．

⑾、抛物线上的点到直线距离的最小值是

A．　　　　　　　 B．　　　　　 C．　 　　　　　　　D．

⑿、用长度分别为2、3、4、5、6(单位：)的5根细木棒围成一个三角形(允许连接，但不允许折断)，能够得到的三角形的最大面积为

A．　　　 B．　　　　　 C．　 　　　　D．

普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

第Ⅱ卷

(17)(本小题满分12分)

已知向量，．

(Ⅰ)若，求；

(Ⅱ)求的最大值．

(18)(本小题满分12分)

某批产品成箱包装，每箱5件．一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验．设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．

(Ⅰ)用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望；

(Ⅱ)若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品级用户拒绝的概率．

(19)(本小题满分12分)

如图，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AB＝BC，D、E分别为BB₁、AC₁的中点．

(Ⅰ)证明：ED为异面直线BB₁与AC₁的公垂线；

(Ⅱ)设AA₁＝AC＝AB，求二面角A₁－AD－C₁的大小．

(20)(本小题满分12分)

设函数f(x)＝(x+1)ln(x+1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围．

(21)(本小题满分14分)

已知抛物线x²＝4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且＝λ(λ＞0)．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M．

(Ⅰ)证明·为定值；

(Ⅱ)设△ABM的面积为S，写出S＝f(λ)的表达式，并求S的最小值．

(22)(本小题满分12分)

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且方程x²－a_nx－a_n＝0有一根为S_n－1，n＝1，2，3，…．

(Ⅰ)求a₁，a₂；

(Ⅱ){a_n}的通项公式．

2006年普通高等学校招生全国统一考试

(13)在(x⁴+)¹⁰的展开式中常数项是　　　　　　　 (用数字作答)

(14)已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为　　　　　　　　 ．

(15)过点(1，)的直线l将圆(x－2)²+y²＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k＝　　　　　　 ．

(16)一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如下图)．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2500，3000)(元)月收入段应抽出　　　　　　　 人．

(1)已知集合M＝{x|x＜3}，N＝{x|log₂x＞1}，则M∩N＝

(A)　　　　　　　　　　　　 (B){x|0＜x＜3}

(C){x|1＜x＜3}　　　　　　　　 (D){x|2＜x＜3}

(2)函数y＝sin2xcos2x的最小正周期是

(A)2π　　　　　 (B)4π　　　　 (C)　　　　　 (D)

(3)＝

(A)i　　　　　 (B)－i　　　　 (C)　　　　　 (D)－

(4)过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为

(A)　　　　　　 (B)　　　　　　 (C)　　　　　　　 (D)

(5)已知△ABC的顶点B、C在椭圆+y²＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是

(A)2　　　　　　 (B)6　　　　　 (C)4　　　　 (D)12

(6)函数y＝lnx－1(x＞0)的反函数为

(A)y＝e^x+1(x∈R)　　　　　　　　　　　 (B)y＝e^x－1(x∈R)

(C)y＝e^x+1(x＞1)　　　　　　　　　　　　 (D)y＝e^x－1(x＞1)

(7)如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和，过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB∶A′B′＝

(A)2∶1　　　　　　　 (B)3∶1

(C)3∶2　　　　　　　 (D)4∶3

(8)函数y＝f(x)的图像与函数g(x)＝log₂x(x＞0)的图像关于原点

对称，则f(x)的表达式为

(A)f(x)＝(x＞0)　　　　　 (B)f(x)＝log₂(－x)(x＜0)

(C)f(x)＝－log₂x(x＞0)　　　　 (D)f(x)＝－log₂(－x)(x＜0)

(9)已知双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则双曲线的离心率为

(A)　　　　　　 (B)　　　　　 (C)　　　　　　 (D)

(10)若f(sinx)＝3－cos2x，则f(cosx)＝

(A)3－cos2x　　　　 (B)3－sin2x　　　　 (C)3+cos2x　　　 (D)3+sin2x

(11)设S_n是等差数列{a_n}的前n项和，若＝，则＝

(A)　　　　　 (B)　　　　　　 　　　(C)　　　　　 (D)

(12)函数的最小值为

(A)190　　　　　 (B)171　　　　　　 (C)90　　　　 (D)45

绝密★启用前

2006年普通高等学校招生全国统一考试

数学(理工农医类)

第Ⅱ卷

(本卷共10小题，共90分)

22．(本小题满分14分)

已知，点在函数的图象上，其中

(1)证明数列是等比数列；

(2)设，求及数列的通项；

(3)记，求数列的前项，并证明

解：(Ⅰ)由已知，　　　 　　　 ，两边取对数得

，即是公比为2的等比数列.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

　　　　　　　 　　　　　　　　　 (*)

　　　　　　　 　　　 　　　 =

　　　　　　　 由(*)式得

(Ⅲ)　 　　　　 　

　　　　　　　 　 　　　　　　　 又　

又　　 .

21．(本小题满分12分)

双曲线C与椭圆有相同的焦点，直线为C的一条渐近线。

(1)求双曲线C的方程；

(2)过点的直线，交双曲线C于A、B两点，交轴于Q点(Q点与C的顶点不重合)，当，且时，求点的坐标。

解：(Ⅰ)设双曲线方程为　　 由椭圆

求得两焦点为，对于双曲线，又为双曲线的一条渐近线

　 解得 ，双曲线的方程为

(Ⅱ)解法一：由题意知直线的斜率存在且不等于零。

设的方程：，

则

在双曲线上，

同理有：

若则直线过顶点，不合题意.

是二次方程的两根.

，此时.所求的坐标为.

解法二：由题意知直线的斜率存在且不等于零

设的方程，，则.，分的比为.

由定比分点坐标公式得

下同解法一

解法三：由题意知直线的斜率存在且不等于零

设的方程：，则.

，　 .

，　　 ，，

又，即

将代入得

，否则与渐近线平行。

。　 　

解法四：由题意知直线l得斜率k存在且不等于零，设的方程：，

则　　 , 。

同理　　　 　　 .

即　　 。　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (*)

又　　 消去y得.

当时，则直线l与双曲线得渐近线平行，不合题意，。

由韦达定理有：　 代入(*)式得　　 所求Q点的坐标为。

20．(本小题满分12分)

袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等。用ξ表示取出的3个小球上的最大数字，求：

(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；

(2)随机变量ξ的概率分布和数学期望；

(3)计分介于20分到40分之间的概率。

解：(I)解法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为，

则

解法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A”，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为，则事件和事件是互斥事件，因为

所以.

(II)由题意有可能的取值为：2，3，4，5.

所以随机变量的概率分布为

	2	3	4	5

因此的数学期望为

(Ⅲ)“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为，则

19．(本小题满分12分)

如图，已知平面平行于三棱锥的底面ABC，等边△所在的平面与底面ABC垂直，且∠ACB=90°，设

(1)求证直线是异面直线与的公垂线；

(2)求点A到平面VBC的距离；

(3)求二面角的大小。

解法1：

(Ⅰ)证明：∵平面∥平面，

又∵平面⊥平面，平面∩平面，

∴⊥平面，，

又，.

为与的公垂线.

(Ⅱ)解法1：过A作于D，

　　　 　∵△为正三角形，∴D为的中点.

∵BC⊥平面∴，

又，∴AD⊥平面，

∴线段AD的长即为点A到平面的距离.

在正△中，.

∴点A到平面的距离为.

解法2：取AC中点O连结，则⊥平面，且=.

由(Ⅰ)知，设A到平面的距离为x，

，即，解得.

即A到平面的距离为.则

　　 所以，到平面的距离为.

(III)过点作于，连，由三重线定理知

是二面角的平面角。

在中，

　　 。。

所以，二面角的大小为arctan.

解法二：取中点连,易知底面，过作直线交。

取为空间直角坐标系的原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系。则。

(I)，，

，。

　　 又

由已知。，

而。

又显然相交，是的公垂线。

(II)设平面的一个法向量，

　 又

　 由取 得

点到平面的距离，即在平面的法向量上的投影的绝对值。

，设所求距离为。　　　 则

　　　　　　　 =　　　　　　 所以，A到平面VBC的距离为.

(III)设平面的一个法向量

由　　　　　　　 　　　　　　　　　　

取　　

二面角为锐角，

所以，二面角的大小为