5．在的展开式中，的幂的指数是整数的项共有　　　　　　 ( C )

A．3项　　 B．4项　　 C．5项　　 D．6项

4．设，则的定义域为　　　　　　　　　　　 ( B )

A．　　 B．　　 　

C．　　 　D．

3.若的内角满足，则　　　　　　　　 ( A )

A.　　 B．　　 C．　　 D．

2.若互不相等的实数成等差数列，成等比数列，且，则 ( D )

A．4　　 B．2　　 C．－2　　 D．－4

1．已知向量，是不平行于轴的单位向量，且，则　 ( B )

A．()　　 B．()　　 C．()　　 D．()

案填在题中横线上。

(9)的值等于. (10)在的展开式中, 的系数是.(用数字作答)

(11)若三点 A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(0 ,b)(ab0)共线，则,

的值等于

(12)在△ABC 中，若 C B A sin A: sinB: sinC =5:7:8. 则∠B 的大小是

(13)已知点 P(x，y)的坐标满足条件点O为坐标原点，那么|PO |的最小值

等于,最大值等于.

(14)已知A、B、C三点在球心为 O，半径为R 的球面上，AC⊥BC，且 AB=R，那么 A、B 两点间的球面距离为 球心到平面 ABC 的距离为.

. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

(15)(本小题共 12 分)

已知函数.

(Ⅰ)求的定义域；

(Ⅱ)设的第四象限的角，且，求的值

(16)(本小题共 13 分)

已知函数在点处取得极大值5，其导函数

的图象经过点(1，0)，(2，0)，如图所示，求：

(Ⅰ)的值； (Ⅱ)a，b，c 的值. 　　　　　　　　　　　 　

(17)(本小题共 14 分)

如图，在底面为平行四边形的四棱锥 P-ABCD 中，AB⊥AC，PA⊥平面 ABCD，且

PA=PB，点 E 是 PD 的中点.

(Ⅰ)求证：AC⊥PB；

(Ⅱ)求证：PB//平面 AEC； 　　　　　

(Ⅲ)求二面角 E-AC-B 的大小.

(18)(本小题共 13 分)

某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.

方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；

方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.

假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是 a，b，c，且三门课程考

试是否及格相互之间没有影响. 求：

(Ⅰ)分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；

(Ⅱ)试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.(说明理由)

(19)(本小题共 14 分)

已知点 M(－2，0)，N(2，0)，动点 P满足条件|PM |－|PN |=，记动点 P的轨

迹为 W.

(Ⅰ)求 W 的方程；

(Ⅱ)若 A，B 是W上的不同两点，O 是坐标原点，求

、的最小值.

(20)(本小题共 14 分)

在数列中，若 a1，a2 是正整数，且,3，4，5，…，则称

为“绝对差数列”.

(Ⅰ)举出一个前五项不为零的“绝对差数列”(只要求写出前十项)；

(Ⅱ)若“绝对差数列”中，,，数列满足

n=1，2，3，…，分虽判断当时, 与的极限是否存在，如果存在，求出其极

限值；

(Ⅲ)证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.

(1)在复平面内，复数 对应的点位于

(A)第一象限 (B)第二象限

(C)第三象限 (D)第四象限

(2)若 a 与 b－c 都是非零向量，则“a·b=a·c”是“a⊥(b－c)”的

(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件

(C)充分必要条件 　　(D)既不充分也不必要条件

(3)在 1，2，3，4,5 这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为

(A)36 个 (B)24 个

(C)18 个 (D)6 个

(4)平面的斜线 AB 交于点 B，过定点 A 的动直线与 AB 垂直，且交

于点 C，则动 点 C 的轨迹是

(A)一条直线 (B)一个圆

(C)一个椭圆 (D)双曲线的一支

(5)已知 是上的增函数，那么 a 的取值范

围是

(A)(0，1) 　　(B)(0，)

(C),　　 (D)

(6)在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1，2)上的任意,( ).

恒成立”的只有

(A)　　　　 (B)



(C)　　　　 (D)

(7)设,则等于

(A) 　　　　　　(B)

(C) 　　　　　(D)

(8)下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口 A、B、

C 的机动车辆数如图所示，图中 　分别表示该时段单位时间通过路段 ,

的机动车辆数(假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等)，则 (A)   　　　　　　　 (B) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(C) 　 (D)

绝密★启用前

2006 年普通高等学校招生全国统一考试

数 学(文史类) (北京卷)

第 II 卷(共 110 分)

(17)本小题主要考查三角函数的图象和性质，考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力．满分12分．

解：(Ⅰ)

y=cos²x+sinxcosx+1

=(2cos²x－1)++(2sinxcosx)+1

=cos2x+sin2x+=(cos2x·sin+sin2x·cos)+

=sin(2x+)+　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　--6分

y取得最大值必须且只需

2x+=+2kπ，k∈Z，

即 x=+kπ，k∈Z．

所以当函数y取得最大值时，自变量x的集合为

{x|x=+kπ，k∈Z }　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　--8分

(Ⅱ)将函数y=sinx依次进行如下变换：

(i)把函数y=sinx的图象向左平移，得到函数y=sin(x+)的图象；

(ii)把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y=sin(2x+)的图象；

(iii)把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y=sin(2x+)的图象；

(iv)把得到的图象向上平移个单位长度，得到函数y=sin(2x+)+的图象；综上得到函数y=cos²x+sinxcosx+1的图象．　　　　　 　　　　　　　　--12分

(18)本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力，满分12分．

(Ⅰ)证明：连结A₁C₁、AC、AC和BD交于O，连结C₁O．

∵ 四边形ABCD是菱形，

∴ AC⊥BD，BD=CD．

又∵∠BCC₁=∠DCC₁，C₁C= C₁C，

∴ △C₁BC≌△C₁DC

∴ C₁B=C₁D，

∵ DO=OB

∴ C₁O⊥BD，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　--2分

但AC⊥BD，AC∩C₁O=O，

∴ BD⊥平面AC₁，

又C₁C平面AC₁

∴ C₁C⊥BD．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 --4分

(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知AC⊥BD，C₁O⊥BD，

∴ ∠C₁OC是二面角α-BD-β的平面角．

在△C₁BC中，BC=2，C₁C=，∠BCC₁=60º，

∴ C₁B²=2²+()²－2×2××cos60º=　　　　 　　　　　　　　　　　--6分

∵ ∠OCB=30º，

∴ OB=BC=1．

∴C₁O²= C₁B²－OB²=，

∴ C₁O=即C₁O= C₁C．

作 C₁H⊥OC，垂足为H．

∴ 点H是OC的中点，且OH=，

所以cos∠C₁OC==．　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　--8分

(Ⅲ)当=1时，能使A₁C⊥平面C₁BD

证明一：

∵ =1，

∴ BC=CD= C₁C，

又∠BCD=∠C₁CB=∠C₁CD，

由此可推得BD= C₁B = C₁D．

∴ 三棱锥C－C₁BD是正三棱锥．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 --10分

设A₁C与C₁O相交于G．

∵ A₁ C₁∥AC，且A₁ C₁∶OC=2∶1，

∴ C₁G∶GO=2∶1．

又C₁O是正三角形C₁BD的BD边上的高和中线，

∴ 点G是正三角形C₁BD的中心，

∴ CG⊥平面C₁BD．

即A₁C⊥平面C₁BD．　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　--12分

证明二：

由(Ⅰ)知，BD⊥平面AC₁，

∵ A₁ C平面AC₁，∴BD⊥A₁ C．　　　　　　　　　　　　　 　　　　　--10分

当=1时，平行六面体的六个面是全等的菱形，

同BD⊥A₁ C的证法可得BC₁⊥A₁C，

又BD⊥BC₁=B，

∴ A₁C⊥平面C₁BD．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　--12分

(19)本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识，分类讨论的数学思想方法和运算、推理能力．满分12分．

解：(Ⅰ)不等式f(x) ≤1即

≤1+ax，

由此得1≤1+ax，即ax≥0，其中常数a＞0．

所以，原不等式等价于

即　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 --3分

所以，当0＜a＜1时，所给不等式的解集为{x|0}；

当a≥1时，所给不等式的解集为{x|x≥0}．　　　　　　　　 　　　　　　--6分

(Ⅱ)在区间[0，+∞]上任取x₁、x₂，使得x₁＜x₂．

f(x₁)－f(x₂)= －－a(x₁－x₂)

　　　　 =－a(x₁－x₂)

　　　　 =(x₁－x₂)(－a)．　　　　　　　　 　　　　　　--8分

(ⅰ)当a≥1时

∵ <1

∴ －a<0，

又x₁－x₂<0，

∴ f(x₁)－f(x₂)>0，

即f(x₁)>f(x₂)．

所以，当a≥1时，函数f(x)在区间上是单调递减函数． 　　　　　--10分

(ii)当0<a<1时，在区间上存在两点x₁=0,x₂=，满足f(x₁)=1，f(x₂)=1，即f(x₁)=f(x₂)，所以函数f(x)在区间上不是单调函数．

综上，当且仅当a≤1时，函数f(x)在区间上是单调函数．　　　　 --12分

(20)本小题主要考查等比数列的概念和基本性质，推理和运算能力，满分12分．

解：(Ⅰ)因为{c_n+1－pc_n}是等比数列，故有

(c_n+1－pc_n)²=( c_n+2－pc_n+1)(c_n－pc_n－1)，

将c_n=2ⁿ+3ⁿ代入上式，得

[2ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺¹－p(2ⁿ+3ⁿ)]²

=[2ⁿ⁺²+3ⁿ⁺²－p(2ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺¹)]·[2ⁿ+3ⁿ－p(2^n－1+3^n－1)]，　　　　　　　　　　 --3分

即[(2－p)2ⁿ+(3－p)3ⁿ]²

=[(2－p)2ⁿ⁺¹+(3－p)3ⁿ⁺¹][ (2－p)2^n－1+(3－p)3^n－1]，

整理得(2－p)(3－p)·2ⁿ·3ⁿ=0，

解得p=2或p=3．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 --6分

(Ⅱ)设{a_n}、{b_n}的公比分别为p、q，p≠q，c_n=a_n+b_n．

为证{c_n}不是等比数列只需证≠c₁·c₃．

事实上，=(a₁p+b₁q)²=p²+q²+2a₁b₁pq，

c₁·c₃=(a₁+b₁)(a₁ p²+b₁q²)= p²+q²+a₁b₁(p²+q²)．

由于p≠q，p²+q²>2pq，又a₁、b₁不为零，

因此c₁·c₃，故{c_n}不是等比数列．　　　　　　　　　　　　　　　　 --12分

(21)本小题主要考查由函数图象建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力，满分12分．

解：(Ⅰ)由图一可得市场售价与时间的函数关系为

f(t)=　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　--2分

由图二可得种植成本与时间的函数关系为

g(t)=(t－150)²+100，0≤t≤300．　　　　　　 　　　　　　　　　　　--4分

(Ⅱ)设t时刻的纯收益为h(t)，则由题意得

h(t)=f(t)－g(t)

即h(t)=　　　　　 　　　　　　　　--6分

当0≤t≤200时，配方整理得

h(t)=－(t－50)²+100，

所以，当t=50时，h(t)取得区间[0，200]上的最大值100；

当200<t≤300时，配方整理得

h(t)=－(t－350)²+100

所以，当t=300时，h(t)取得区间[200，300]上的最大值87．5．　　　　　 --10分

综上，由100>87．5可知，h(t)在区间[0,300]上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大．　　　　　　　　　　 --12分(22)本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力，满分14分．

解：如图，以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xoy，则CD⊥y轴．

因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于x轴对称．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　--2分

依题意，记A(－c，0)，C(，h)，E(x₀, y₀)，其中c=|AB|为双曲线的半焦距，h是梯形的高．

由定比分点坐标公式得

x₀== ，

．

设双曲线的方程为，则离心率.

由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和代入双曲线方程得

，　　　　　 　　　　　　①

．　　 ②　　　　　　　　　 --7分

由①式得　　 ，　　　　　　　　　　 ③

将③式代入②式，整理得

，

故　　 ．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 --10分

由题设得，．

解得．

所以双曲线的离心率的取值范围为．　　　　　　　　　　　　 --14分

(13)252　 　(14)－　 　　(15)　　 　　(16)②③

(1)C　　　 (2)B　　 　(3)D　　　 　(4)D　　 　(5)D　　 　　(6)C　　　

(7)B 　　　(8)C　　　 (9)A　　　 (10)C　　　 (11)C　　 　(12)D