(一)必做题(11-13题)

⒒若的面积是，，则　　　　 ．

⒓如图2，程序框图输出的函数　　 ，值域是　 ．

⒔观察下列各式：①；②；

③；④

根据其中函数及其导函数的奇偶性，运用

归纳推理可得到的一个命题是：　　　　　　　　　 ．

⒈已知集合，下列实数中，符合的是

A．　　　 B．　　　 C．　　　 D．

⒉在复平面内，点、对应的复数分别是、，则线段的中点对应的复数是

A．　　　 B．　　　 C．　　　 D．　　　 www.k@s@5@　　　　　　　　　　　　　　 高#考#资#源#网

⒊已知，，，则、、的大小关系是

A．　　 B．　　 C．　　 D．

⒋设向量、，下列结论中，正确的是

A．　　　 B．　　　 C．　　　 D．

⒌某型号儿童蛋糕上半部分是半球，下半部分是圆锥，

三视图如图，则该型号蛋糕的表面积

A．　　　　　 B．

C．　　　　　 D．

⒍已知椭圆短轴上的两个顶点分别为、，焦点

为、，若四边形是正方形，则这个

椭圆的离心率

A．　　 B．　　 C．　 D．以上都不是

⒎已知数列，则“”是“是等比数列”的

A．充要条件　 B．必要不充分条件　 　C．充分不必要条件　 D．以上都不是

⒏已知平面区域：，，的概率是

A．　　　 B．　　　 C．　　　 D．

⒐曲线在点处的切线方程是

A．　　 B．　　 C．　　 D．

⒑若正实数、满足，则

A．的最小值是25　　　　 B．的最大值是25

C．的最小值是　　　 D．的最大值是

⒗⑴，是锐角，所以……1分，

……2分，……4分，……5分．

⑵……7分，由正弦定理……9分，得……11分，……13分，新的飞行路程比原路程多……14分．

⒘⑴设选手甲任答一题，正确的概率为，依题意……1分，……2分，甲选答3道题目后进入决赛的概率为……3分，甲选答4道、5道题目后进入决赛的概率分别为、……5分，所以，选手甲可进入决赛的概率……6分．

⑵可取3，4，5……7分，依题意……8分，

……9分，

……10分，

(或……10分)

所以，的分布列为：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……11分

……12分．

⒙⑴以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系……1分，则、，设，则，……2分，从而、……3分，直接计算知，所以……5分．

⑵①当、、、共面时，因为底面，所以……6分，所以，从而、分别是、的中点……7分，设到直线的距离为，在中，，，解得……9分．

②由①得，、 ，设平面的一个法向量为，依题意……10分，所以……11分，同理平面的一个法向量为……13分，由图知，面与面所成二面角的余弦值(即)……14分．

⒚⑴依题意，设曲线的方程为()……1分，……2分，，……3分，，所求方程为……4分．

⑵当直线不与轴垂直时，设其方程为……5分，由

……6分，得……7分，从而，……8分，设，则

……10分，当，时……11分，对，……12分；当轴时，直线的方程为，，……13分，对，，即存在轴上的点，使的值为常数……14分．

⒛⑴(方法一)由得，……2分，所以……3分，

……4分，，……5分．

(方法二)由得，

……1分，……3分，……，，累加得

……5分．

⑵时，左边，右边，左边=右边，命题成立……7分；

设时，命题成立，即……8分，则……9分，

，从而时，命题成立……11分．

综上所述，数列的前项和……12分．

21.⑴、，……1分。

若，则当、时，……2分，从而……3分；

若，则当、时，，……4分，从而，所以对任意常数，都不是区间上的平缓函数……5分．

⑵若、，①当时，……6分；②当时，不妨设，根据的周期性，……7分，

……9分，……11分，所以对、，都有……12分．

对、，根据的周期性(且)，存在、，使、，从而……14分．

⒔①④(正确选项一个3分，全对5分；错误选项一个扣3分，2个扣5分，扣完为止) 　⒕(答给3分，其他0分) 　⒖

⒗(本小题满分14分)如图5，一架飞机原计划从空中处直飞相距的空中处，为避开直飞途中的雷雨云层，飞机在处沿与原飞行方向成角的方向飞行，在中途处转向与原方向线成角的方向直飞到达处．已知．

⑴在飞行路径中，求；

⑵求新的飞行路程比原路程多多少．

(参考数据：，)

⒘(本小题满分12分)某校举行环保知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有次选题答题的机会，选手累计答对题或答错题即终止其初赛的比赛：答对题者直接进入决赛，答错题者则被淘汰．已知选手甲答对每个问题的概率相同，并且相互之间没有影响，答题连续两次答错的概率为．

⑴求选手甲可进入决赛的概率；

⑵设选手甲在初赛中答题的个数为，试求的分布列，并求的数学期望．

⒙(本小题满分14分)如图6，是棱长为的正方体，、分别是棱、上的动点，且．

⑴求证：；

⑵当、、、共面时，求：

①到直线的距离；

②面与面所成二面角的余弦值．

⒚(本小题满分14分)已知圆锥曲线上任意一点到两定点、的距离之和为常数，曲线的离心率．

⑴求圆锥曲线的方程；

⑵设经过点的任意一条直线与圆锥曲线相交于、，试证明在轴上存在一个定点，使的值是常数．

⒛(本小题满分12分)已知数列，，．

⑴求数列的通项；

⑵设数列的前项和为，试用数学归纳法证明．

21(本小题满分14分)设是定义在区间()上的函数，若对、，都有，则称是区间上的平缓函数．

⑴试证明对，都不是区间上的平缓函数；

⑵若是定义在实数集上的、周期为的平缓函数，试证明对、，．

理科数学评分参考

(二)选做题(14、15题，考生只能从中选做一题)

⒕(坐标系与参数方程选做题)若直线(为参数)与圆(，为参数，为常数且)相切，则　　　 ．

⒖(几何证明选讲选做题)如图4，是圆外

一点，直线与圆相交于、，、

是圆的切线，切点为、。若，

则四边形的面积　　　 ．

(一)必做题(9-13题)

⒐已知，，

，某次全市20000人

参加的考试，数学成绩大致服从正态分布，

则本次考试120分以上的学生约有　　　 人．

⒑图3是讨论三角函数某个性质的程序框图，若输入

，则输出　　 ．

⒒设抛物线：的准线与对称轴相交于点，

过点作抛物线的切线，切线方程是　　　　 ．

⒓在平面直角坐标系中，四边形在映射：作用下的象集为四边形，若的面积，则的面积　　 ．

⒔以下命题中，真命题的序号是　　　　　　 (请填写所有真命题的序号)．

①回归方程表示变量增加一个单位时，平均增加个单位．

②已知平面、和直线，若且，则．

③“若，则”的逆否命题是“若或，则”．

④若函数与函数的图象关于直线对称，，若，则．

⒈已知集合，若，则

A．　　　 B．　　　 C．　　　 D．

⒉若四边形满足，，则该四边形一定是

A．直角梯形　　 B．菱形 　　C．矩形　　 D．正方形

⒊某社区现有个住户，其中中等收入家庭200户、低收入家庭160户，其他为高收入家庭。在建设幸福广东的某次分层抽样调查中，高收入家庭被抽取了6户，则该社区本次被抽取的总户数为

A．　　 B．　　 C．　　 D．

⒋直线，都是函数的对称轴，且函数在区间上单调递减，则

A．，　　　　　 B．，

C．，　　　　　 D．，

⒌一个底部水平放置的几何体，下半部分是圆柱，

上半部分是正四棱锥，其三视图如图1所示，

则这个几何体的体积

A．　　　 B．

C．　 　　　　D．

⒍、、，“、、成等差数列”是“、、成等比数列”的

A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件

C．充要条件　　 D．既不充分也不必要条件

⒎在平面直角坐标系中，与所

表示的曲线如图2所示，则常数、、之间的关系可能是

A．且　　　 B．且

C．且　　　 D．A或C

⒏已知平面区域，(是常数)，，记为事件，则使的常数有

A．个　　　 B．个　　　 C．个　　　 D．个以上

⒗⑴解……1分，得()……2分，

所以的定义域为……3分，

……6分，……7分，因为()，所以的最大值……8分．

⑵由得……9分，因为是第一象限角，所以，……11分，所以……12分．

⒘⑴依题意，在正三棱柱中，，，从而……2分，所以正三棱柱的体积……4分，……5分．

⑵连接，设，连接……6分，因为是正三棱柱的侧面，所以是矩形，是的中点……7分，所以是的中位线，

……8分，因为，，所以……10分．

⑶平面、平面、平面……13分(每对个给1分)．

⒙⑴函数，为奇函数，当且仅当，……1分，即……2分，基本事件共个：、、、、、、、、、、、、、、，其中第一个数表示的取值，第二个数表示的取值……4分，事件，即“函数，有零点”包含的基本事件有5个：、、、、……6分，事件发生的概率为……7分．

⑵试验的全部结果所构成的区域为……8分，区域面积为……9分，构成事件的区域为

……10分，即……11分，区域面积为……12分，事件发生的概率为……13分．

⒚⑴设，则，，……2分，因为，所以……4分，化简整理得点的轨迹的方程为……6分．

⑵设、，由的对称性，得、……7分，因为是菱形，所以，，即……9分，由得……10分，，

……11分，

……12分，检验知，此时……13分，所以……14分．

⒛⑴依题意，，……1分，

……2分，所以是首项为、公比为的等比数列……3分，所以，……5分．

⑵对，……7分，，所以，

……8分，……9分，所以

　　　　 ……10分，两式相减，整理得

…11分，…13分，……14分．

21．⑴，，……1分，所以直线的方程为……2分。

⑵设在处的切线为，则有……4分，解得，即，当时，是曲线在点的切线……5分．

⑶……6分．

当，时，……7分，在单调递增……8分；

当时，……9分，在单调递增，在单调减少……10分；

当时，解得，……11分，在和单调递增，在单调减少……12分；

当时，解得，(舍去)……13分，在单调递增，在单调减少……14分．

⒗(本小题满分12分)已知函数．

⑴求的定义域和最大值；

⑵设是第一象限角，且，求的值．

⒘(本小题满分13分)如图是一个水平放置的正三棱柱，是棱的中点．正三棱柱的正(主)视图如图．

⑴求正三棱柱的体积；

⑵证明：；

⑶图中垂直于平面的平面有哪几个？(直接写出符合要求的平面即可，不必说明或证明)

⒙(本小题满分13分)已知函数，，、是常数．

⑴若是从、、、、五个数中任取的一个数，是从、、三个数中任取的一个数，求函数为奇函数的概率．

⑵若是从区间中任取的一个数，是从区间中任取的一个数，求函数有零点的概率．

⒚(本小题满分14分)在平面直角坐标系中，点、，动点满足．

⑴求点的轨迹的方程．

⑵若直线与轨迹相交于、两点，直线与轨迹相交于、两点，顺次连接、、、得到的四边形是菱形，求．

⒛(本小题满分14分)已知数列的前项和为，，，．

⑴求的通项公式．

⑵证明：对，．

21.(本小题满分14分)已知，，，是常数．

⑴求曲线在点处的切线．

⑵是否存在常数，使也是曲线的一条切线．若存在，求的值；若不存在，简要说明理由．

⑶设，讨论函数的单调性．

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