2009年江西省芦溪中学高三数学复习(二轮) 数列
(教师巧拨专版)
一、专题热点透析
本专题是高中数学的重点内容之一 ,也是高考考查的热点。高考中着重考查运算能力、逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力。其中,选择题、填空题突出“小、巧、活”的特点,而解答题多以中、高档题目出现。透析近年高考试题,本专题的命题热点为:等差,等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式的应用;利用数列的前n项和与通项的关系解题;数列的求和问题;递推数列问题;数列应用问题;数列与函数、三角、不等式的综合问题;数列与平面解析几何的综合问题,等等。
题型一、等差、等比数列综合问题
例1.数列中,,(是常数,),且成公比不为的等比数列.(I)求的值;(II)求的通项公式.
解:(I),,,
因为,,成等比数列,所以,解得或.
当时,,不符合题意舍去,故.
(II)当时,由于,,…………,,
所以.
又,,故.当时,上式也成立,
所以
例2.若都是各项为正的数列,对任意的正整数都有成等差数列,成等比数列。
(1)试问是否是等差数列?为什么?
(2)求证:对任意的正整数成立;
(3)如果,求。
解:依题意……①有 ……②
(1)∵,∴由②式得从而时,
代入①,∴∴是等差数列。
(2)因为是等差数列∴∴
(3)由及①②两式易得∴的公差
∴∴………………③
又也适合③、∴
∴ ∴
变式:
数列{an}中,a1=8,a4=2且满足an+2=2an+1-an,(n∈N*)
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设Sn=|a1|+|a2|+…+|an|,求Sn;
(3)设bn=(n∈N*),Tn=b1+b2+……+bn(n∈N*),是否存在最大的整数m,使得对任意n∈N*均有Tn>成立?若存在,求出m的值;若不存在,说明理由。
解 (1)由an+2=2an+1-anan+2-an+1=an+1-an可知{an}成等差数列,d==-2,∴an=10-2n
(2)由an=10-2n≥0可得n≤5,当n≤5时,Sn=-n2+9n,
当n>5时,Sn=n2-9n+40,故Sn=
(3)bn=
要使Tn>总成立,需<T1=成立,即m<8且m∈Z,故适合条件的m的最大值为7
题型二、与的关系问题
例1.已知数列的前n项和为Sn,满足条件,其中b>0且b1。
(1)求数列的通项an;(2)若对,试求b的取值范围。
解:(1)由已知条件得
当n=1时,,故
(2)由
例2. 已知数列的前项和为,若,
(1)证明数列为等差数列,并求其通项公式;
(2)令,①当为何正整数值时,:②若对一切正整数,总有,求的取值范围。
解:(1)令,,即,由
∵,∴,
即数列是以为首项、为公差的等差数列, ∴
(2)①,即 ②∵,又∵时,
∴各项中数值最大为,∵对一切正整数,总有恒成立,因此
变式:
1.在等差数列中,,前项和满足条件,
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)记,求数列的前项和。
解:(Ⅰ)设等差数列的公差为,由得:,所以,即,又=,所以。
(Ⅱ)由,得。所以,
当时,;当时,,
即。
2.设是数列()的前项和,,且,,.
(I)证明:数列()是常数数列;
(II)试找出一个奇数,使以18为首项,7为公比的等比数列()中的所有项都是数列中的项,并指出是数列中的第几项.
解:(I)当时,由已知得.
因为,所以. ……①于是. ………②
由②-①得:.……………③于是.………………④
由④-③得:.……………⑤即数列()是常数数列.
(II)由①有,所以.由③有,所以,
而⑤表明:数列和分别是以,为首项,6为公差的等差数列.
所以,,.
由题设知,.当为奇数时,为奇数,而为偶数,所以不是数列中的项,只可能是数列中的项.若是数列中的第项,由得,取,得,此时,由,得,,从而是数列中的第项.
(注:考生取满足,的任一奇数,说明是数列中的第项即可)
题型三、递推数列问题
例1. 如图,将圆分成个区域,用3种不同颜色给每一个区域染色,要求相邻区域颜色互异,把不同的染色方法种数记为。求
(Ⅰ);
(Ⅱ)与的关系式;
(Ⅲ)数列的通项公式,并证明。
解:(Ⅰ) 当时,不同的染色方法种数 , 当时,不同的染色方法种数 ,
当时,不同的染色方法种数 , 当时,分扇形区域1,3同色与异色两种情形
∴不同的染色方法种数 。
(Ⅱ)依次对扇形区域染色,不同的染色方法种数为,其中扇形区域1与不同色的有种,扇形区域1与同色的有种。∴
(Ⅲ)∵
∴ ……………… ,
将上述个等式两边分别乘以,再相加,得
,
∴,从而。
证明:当时, 当时, ,当时,
,
故
例2. 在数列中,,,.
(Ⅰ)证明数列是等比数列;
(Ⅱ)求数列的前项和;
(Ⅲ)证明不等式,对任意皆成立.
解:(Ⅰ)证明:由题设,得,.
又,所以数列是首项为,且公比为的等比数列.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,于是数列的通项公式为.
所以数列的前项和.
(Ⅲ)对任意的,
.
所以不等式,对任意皆成立.
变式:
数列记
(1)求b1、b2、b3、b4的值;(2)求数列的通项公式及数列的前n项和
解:(1)
整理得
(2)由
所以
题型四、数列求和问题
例1. 若函数,数列 成等差数列.
(1)求数列的通项;
(2)若,令,求数列前项和;
(3)在(2)的条件下对任意,都有,求实数的取值范围。
解:(1) 由求得,所以,得.
(2) ,
,错位相减得
(3) ,则为递增数列. 中的最小项为,.
例2. 设数列{an}的首项a1=1,前n项和Sn满足关系式: 3tSn-(2t+3)Sn-1=3t(t>0,n=2,3,4…)
(1)求证:数列{an}是等比数列;
(2)设数列{an}的公比为f(t),作数列{bn},使b1=1,bn=f()(n=2,3,4…),求数列{bn}的通项bn;
(3)求和:b1b2-b2b3+b3b4-…+b2n-1b2n-b2nb2n+1
解 (1)由S1=a1=1,S2=1+a2,得3t(1+a2)-(2t+3)=3t ∴a2=
又3tSn-(2t+3)Sn-1=3t, ①
3tSn-1-(2t+3)Sn-2=3t ②
①-②得3tan-(2t+3)an-1=0
∴,n=2,3,4…,所以{an}是一个首项为1公比为的等比数列;
(2)由f(t)= =,得bn=f()=+bn-1?
可见{bn}是一个首项为1,公差为的等差数列,于是bn=1+(n-1)=;
(3)由bn=,可知{b2n-1}和{b2n}是首项分别为1和,公差均为的等差数列,于是b2n=,
∴b1b2-b2b3+b3b4-b4b5+…+b2n-1b2n-b2nb2n+1?
=b2(b1-b3)+b4(b3-b5)+…+b2n(b2n-1-b2n+1)
=- (b2+b4+…+b2n)=-?n(+)=- (2n2+3n)
变式:
已知二次函数的图像经过坐标原点,其导函数为,数列的前n项和为,点均在函数的图像上.
(1) 求数列的通项公式;
(2) 设,是数列的前n项和,求使得对所有都成立的最小正整数m.
解:(1)设这二次函数f(x)=ax2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x-2,得
a=3 ,b=-2, 所以 f(x)=3x2-2x.
又因为点均在函数的图像上,所以=3n2-2n.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-=6n-5.
当n=1时,a1=S1=3×12-2=6×1-5,所以,an=6n-5 ()
(2)由(1)得知==,
故Tn===(1-).
因此,要使(1-)<()成立的m,必须且仅须满足≤,
即m≥10,所以满足要求的最小正整数m为10.
题型五、数列与函数、三角、不等式综合问题
例1.已知函数f(x)=
(1)求f(x)的反函数f-1 (x)的表达式;
(2)数列中,a1 =1;an =f-1 (an-1)(nÎN,n≥2),如果bn =(nÎN),求数列的通项公式及前n项和Sn;
(3)如果g(n)=2Sn-17n,求函数g(x) (xÎR)在区间[t,t+2] (tÎR)上的最小值h(t)的表达式。
解:(1)
∴f-1 (x)=
(2)
∴ ∴
是以1为首项,公差为1的等差数列
(3)g(n)=2Sn-17n=n2-16n xÎR
∴g(x)函数图像是以顶点M(8,-64)且开口向上的抛物线
(i)当t>8时,g(x)在[t,t+2]上是增函数 ∴h(t)=g(t)=t2-16t
(ii)当t+2<8时,g(x)在[t,t+2]是减函数 ∴h(t)=g(t+2)=t2-12t-28
(iii)当6≤t≤8时 h(t)=g(8)=-64
∴
例2. 函数的反函数为,数列满足:,数列满足:,
(1)求数列和的通项公式;
(2)记,若对任意的,恒有成立,求实数的取值范围.
解:(1)∵,∴,
∴,即,
∴数列是以为首项,公差为1的等差数列,
∴,即。由于,
∴
两式相减得,当时,,即,
它对也适合,∴
(2)
,得
①,
∴,
②,
,∴∴
由①②可得,对一切都有的的取值范围为
变式:
已知,,数列满足,, .
(Ⅰ)求证:数列是等比数列;
(Ⅱ)当n取何值时,取最大值,并求出最大值;
(III)若对任意恒成立,求实数的取值范围.
解:(I)∵,,,
∴. 即.
又,可知对任何,,所以.
∵, ∴是以为首项,公比为的等比数列.
(II)由(I)可知= ().
∴. .
当n=7时,,;当n<7时,,;当n>7时,,.
∴当n=7或n=8时,取最大值,最大值为.
(III)由,得 (*)
依题意(*)式对任意恒成立,
①当t=0时,(*)式显然不成立,因此t=0不合题意.
②当t<0时,由,可知().而当m是偶数时,因此t<0不合题意.
③当t>0时,由(),∴ ∴. ()
设 ()
∵ =,
∴.∴的最大值为.
所以实数的取值范围是.
题型六、数列应用问题
例1. 某地为了防止水土流失,植树造林,绿化荒沙地,每年比上一年多植相同亩数的林木,但由于自然环境和人为因素的影响,每年都有相同亩数的土地沙化,具体情况为下表所示:
1998年
1999年
2000年
新植亩数
1000
1400
1800
沙地亩数
25200
24000
22400
而一旦植完,则不会被沙化。问:(1)每年沙化的亩数为多少?(2)到那一年可绿化完全部荒沙地?
解:(1)由表知,每年比上一年多造林400亩. 因为1999年新植1400亩,故当年沙地应降为亩,但当年实际沙地面积为24000亩,所以1999年沙化土地为200亩. 同理2000年沙化土地为200亩.所以每年沙化的土地面积为200亩
(2)由(1)知,每年林木的“有效面积”应比实造面积少200亩.
设2000年及其以后各年的造林亩数分别为、、、…,则n年造林面积总和为:
由题意: 化简得解得
故8年,即到2007年可绿化完全部沙地.
变式:
某公司按现有能力,每月收入为70万元,公司分析部门测算,若不进行改革,入世后因竞争加剧收入将逐月减少.分析测算得入世第一个月收入将减少3万元,以后逐月多减少2万元,如果进行改革,即投入技术改造300万元,且入世后每月再投入1万元进行员工培训,则测算得自入世后第一个月起累计收入Tn与时间n(以月为单位)的关系为Tn=an+b,且入世第一个月时收入将为90万元,第二个月时累计收入为170万元,问入世后经过几个月,该公司改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入.
解:入世改革后经过n个月的纯收入为万元,不改革时的纯收入为
又
由题意建立不等式
即
答:经过13个月改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入.
题型七、数列与平面解析几何综合问题
例1. 设是两个数列,点为直角坐标平面上的点.
(1)对若三点共线,求数列的通项公式;
(2)若数列{}满足:,其中是第三项为8,公比为4的等比数列.求证:点列(1,在同一条直线上,并求出此直线的方程.
解:(1)因三点共线,
得故数列的通项公式为
(2)由题意
由题意得
当时,
.当n=1时,,也适合上式,
因为两点的斜率为常数
所以点列(1,在同一条直线上, 且方程为,即.
例2. 已知曲线y=,过曲线上一点(异于原点)作切线。
(I)求证:直线与曲线y=交于另一点;
(II)在(I)的结论中,求出的递推关系。若,求数列的通项公式;
(III)在(II)的条件下,记,问是否存在自然数m,M,使得不等式m<Rn<M对一切n恒成立,若存在,求出M-m的最小值;否则请说明理由。
解:(I)y′=
(II)
(III)① ②
②-①得:
,此时M=2,m=0
变式:
由坐标原点O向曲线引切线,切于O以外的点P1,再由P1引此曲线的切线,切于P1以外的点P2),如此进行下去,得到点列{ Pn}.
求:(1)的关系式;(2)数列的通项公式
解:(1)由题得,过点P1(的切线为
过原点
又过点Pn(的
因为过点Pn-1(
整理得
(2)由(I)得 所以数列{xn-a}是以公比为的等比数列
反馈练习:
1.已知数列的前n项和,那么这个数列中的奇数项依照原来的顺序构成的数列的通项公式是( B )
A. B.
C. D.
2.数列{an}的前n项和Sn=3n-2n2 (n∈N),当n>2时有( D )
A.Sn>na1>nan B.Sn< nan<na
3.已知数列中,,那么等于( B )
A、-495 B、
4.等差数列的通项,则由所确定的数列的前n项和是( C )
A. B. C. D.
5.等差数列,=-5,它的前11项的算术平均值为5。若从中抽去一项,余下10项的算术平均值为4,则抽去的是( D )
A. B. C. D.
6.已知数列{an}满足an+1=an?an?1(n≥2),a1=a,a2=b,记Sn=a1+a2+a3+…+an,则下列结论正确的是( A ).
(A)a100=?a,S100=2b?a (B)a100=?b,S100=2b?a
(C)a100=?b,S100=b?a (D)a100=?a,S100=b?a
7.设数列满足且 等于( D )
A、100a B、100a2 C、101a100 D、100a100
8.已知两个等差数列和的前项和分别为A和,且,则使得为整数的正整数的个数是( D )
A.2 B.3 C.4 D.5
9.若两个等差数列的前n项和(nÎN),则的值等于
10.已知等差数列的第2项是8,前10项和是185,从数列中依次取出第2项,第4项,第8项,……,第项,依次排列一个新数列,则数列的前n项和=
11.对正整数n,设曲线在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为,则数列的前n项和的公式是 2n+1-2
12.数列中,
13.已知函数f(x)= (x<-2)
(1)求f(x)的反函数f--1(x);
(2)设a1=1, =-f--1(an)(n∈N*),求an;
(3)设Sn=a12+a22+…+an2,bn=Sn+1-Sn是否存在最小正整数m,使得对任意n∈N*,有bn<成立?若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.
解 (1)设y=,∵x<-2,∴x=-,即y=f--1(x)=- (x>0)
(2)∵,∴{}是公差为4的等差数列,
∵a1=1, =+4(n-1)=4n-3,∵an>0,∴an=
(3)bn=Sn+1-Sn=an+12=,由bn<,得m>,
设g(n)= ,∵g(n)= 在n∈N*上是减函数,∴g(n)的最大值是g(1)=5,
∴m>5,存在最小正整数m=6,使对任意n∈N*有bn<成立
14.已知数列,满足,,且()
(I)令,求数列的通项公式;
(II)求数列的通项公式及前项和公式.
解:(I)由题设得,即()
易知是首项为,公差为2的等差数列,通项公式为.
(II)由题设得,令,则.
易知是首项为,公比为的等比数列,通项公式为.
由解得, 求和得.
15. 若数列为等差数列,每相邻两项,分别为方程的两根.
(1) 求的通项公式;
(2) 求;
(3) 对于以上的数列{an}和{cn},整数981是否为数列{}中的项?若是,则求出相应的项数;若不是,则说明理由.
解:(1) 设等差数列的公差为d,由题意得
由 得
由
(2)
(3)
∵n是正整数, 是随n的增大而增大,
又<981,>981 ∴ 整数981不是数列{}中的项.
16.已知函数且任意的、都有
(1)若数列
(2)求的值.
解:(1) ,
而
(2)由题设,有
又得上为奇函数. 由
得
于是
故
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