19．某汽车厂有一条价值为a万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值，经过市场调查，产品的增加值y万元与技术改造投入x万元之间满足：①y与(a－x)和x²的乘积成正比；②当时，y=a³；③，其中t是常数，且t

(1)设y=f(x)，求f(x)的表达式及定义域；

(2)求出产品增加值y的最大值及相应的x的值。

解：(1)设y=f(x)=k(a－x)x²

　 ∵当时，y=a³，即 ∴k=8

∴f(x)=8(a－x)·x²

∵

∴函数的定义域是

(2)f(x)=－24x²+16ax，令f’(x)=0，则x=0(舍)，x=

当0<x<时，f’(x)>0，∴f(x)在上是增函数

当x>时，f’(x)<0，∴f(x)在上是减函数

所以x=为极大值点

当时，即1≤t≤2，

当时，即0<t<1，

综上：当1≤t≤2时，投入万元，最大增加值

　 当0<t<1时，投入万元，最大增加值

18．(本小题满分14分)如图，在多面体ABCDE中，AE⊥面ABC，BD∥AE，且AC＝AB＝BC＝BD＝2，AE＝1，F为CD的中点．

(I)求证：EF⊥面BCD；

(II)求多面体ABCDE的体积；

(III)求面CDE与面ABDE所成的二面角的余弦值．

解：(I)取BC中点G，连FG，AG．

因为AE⊥面ABC，BD∥AE，所以BD⊥面ABC．

又AGÌ面ABC，所以BD⊥AG．

又AC＝AB，G是BC的中点，所以AG⊥BC，所以AG平面BCD．

又因为F是CD的中点且BD＝2，所以FG∥BD且FG＝BD＝1，所以FG∥AE．

又AE＝1，所以AE＝FG，所以四边形AEFG是平行四边形，所以EF∥AG，所以EF⊥BCD．

(II)设AB中点为H，则由AC＝AB＝BC＝2，可得CH⊥AB且CH＝．

又BD∥AE，所以BD与AE共面．

又AE⊥面ABC，所以平面ABDE⊥平面ABC．

所以CH⊥平面ABDE，即CH为四棱锥C－ABDE的高．

故四棱锥C－ABDE的体积为V_C－ABDE＝S_ABDE·CH＝[(1+2)×2×]＝．

(III)过C作CK⊥DE于K，连接KH．

由三垂线定理的逆定理得KH⊥DE，所以∠HKC为二面角C－DE－B的平面角．

易知EC＝，DE＝，CD＝2．

由S_△DCE＝×2×＝×CK，可得CK＝．

在Rt△CHK中，sin∠HKC＝＝，所以cos∠HKC＝，

所以面CDE与面ABDE所成的二面角的余弦值为．

17．(本小题满分12分)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且a，b，c成等比数列．(I)求∠B的范围；(II)求y＝2sin²B+sin(2B+)的取值范围．

解：(1)因为a，b，c成等比数列，所以b²＝ac．

根据余弦定理，得cosB＝＝≥＝．

又因为0＜B＜，所以0＜B≤．

所以∠B的范围是(0，]．

(2)y＝2sin²B+sin(2B+)＝1－cos2B+sin2Bcos+cos2Bsin

＝1+sin2Bcos－cos2Bsin＝1+sin(2B－)．

因为0＜B≤，所以－＜2B－≤，所以－＜sin(2B－)≤1，所以＜y≤2．

所以y＝2sin²B+sin(2B+)的取值范围是(，2]．

16．设{a_n}为等差数列，从{a₁，a₂，a₃，…，a₁₀}中任取4个不同的数，使这4个数仍成等差数列，则这样的等差数列最多有　　　 24　　 个．

15．有下列命题：

①G＝(G≠0)是a，G，b成等比数列的充分非必要条件；

②若角α，β满足cosαcosβ=1，则sin(α+β)＝0；

③若不等式|x－4|+|x－3|＜a的解集非空，则必有a≥1；

④函数y=sinx+sin|x|的值域是［－2，2］．

其中正确命题的序号是①②④ ．(把你认为正确的命题的序号都填上)

14．将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点A(0，2)与点B(4，0)重合．若此时点C(7，3)与点D(m，n)重合，则m+n的值是　

13． 已知m≥2，n≥2且m、n为正整数，对m的n次幂进行如下方式的“分裂”，

仿此，以下几个关于“分裂”的叙述：

(1)5² 的“分裂”中最大的数是9；(2)4⁴ 的“分裂”中最小的数是13；(3)若m³的“分裂”中最小的数是211，则m的值为15。上述关于“分裂”的正确叙述的序号是(1)(3) 。(写出所有正确的叙述的序号)

12． 已知向量a，b，若a -b与a垂直，实数等于．

11．抛物线的准线方程是________ x=－1 ____________________．　

10．若并且

　，则实数对(m，n)表示平面上不同点的个数为　 (　 C　 )　　　　　　

A．60个　　　　　　　　　　　 B．70个　　　　　　　　　 C．90个　　　　　　　　　 D．120个

第Ⅱ卷(非选择题共100分)