20．(本小题满分分)

已知数列的前项和为，且对任意，有成等差数列．

(Ⅰ)记数列，求证：数列是等比数列．

(Ⅱ)数列的前项和为，求满足的所有的值．

(20) 本题满分14分

(Ⅰ)证明：，　

　　 　　　　，

　 又由

　　　　 　　 所以数列是首项为，公比为的等比数列…………………(7分)

(Ⅱ)解：，

　　　　　 ，

所以的值为3，4……………………………………………………(14分)

22．(1)令x＝y＝0，则f(0)＝0，再令x＝0，得f(0)－f(y)＝f(－y)，

∴f(－y)＝－f(y)，y∈(－1，1)，∴f(x)在(－1，1)上为奇函数．…………………3分

(2)

，即

　∴{f(a_n)}是以－1为首项，2为公比的等比数列，∴f(a_n)＝－．……………7分

　 (3)．

若恒成立(n∈N₊)，则　

　∵n∈N₊，∴当n＝1时，有最大值4，故m>4．又∵m∈N，∴存在m＝5，使

得对任意n∈N₊，有．　 　　…………………………………………………14分　

22．已知函数f(x)定义在区间(－1，1)上，f()＝－1，且当x，y∈(－1，1)时，恒有f(x)－f(y)＝f()，又数列{a_n}满足a₁＝，a_n+1＝，设b_n＝．

⑴证明：f(x)在(－1，1)上为奇函数；⑵求f(a_n)的表达式；

⑶是否存在正整数m，使得对任意n∈N，都有b_n­­<成立，若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由．

21．(1)∵a_n>0，，∴，则当n≥2时，

即，而a_n>0，∴

又　　　　 …………………6分

(2) …12分　　　　　　　　

21．正数数列{a_n}的前n项和为S_n，且2．

(1)　　　　　　　　 试求数列{a_n}的通项公式；(2)设b_n＝，{b_n}的前n项和为T_n，求证：T_n<．

12.某单位建造一间地面面积为12 m²的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制,房子侧面的长度x不得超过a米,房屋正面的造价为400元/m²,房屋侧面的造价为150元/m²,屋顶和地面的造价费用合计为5 800元,如果墙高为3 m,且不计房屋背面的费用.

(1)把房屋总造价y表示成x的函数,并写出该函数的定义域.

(2)当侧面的长度为多少时,房屋的总造价最低?最低总造价是多少?

解:(1)由题意，可得y＝3()+5 800＝900()+5 800(0＜x≤a).

(2)y＝900()+5 800≥900×+5 800＝13 000,

当且仅当x＝,即x＝4时取等号.若a≥4,则当x＝4时,y有最小值13 000;

当0＜a＜4,任取x₁,x₂∈(0,a］且x₁＜x₂,

y₁-y₂＝900()+5 800-900()-5 800

＝900［(x₁-x₂)+16()］

＝,

∵x₁＜x₂≤a,

∴x₁-x₂＜0,x₁x₂＜a²＜16.

∴y₁-y₂＞0.

∴y＝900()+5 800在(0,a］上是减函数.

∴当x＝a时,y有最小值900()+5 800.

综上,①若a≥4,当侧面的长度为4米时,总造价最低,最低总造价是13 000元;

当0＜a＜4时,当侧面长度为a米时,总造价最低,最低总造价是900()+5 800元.

11.(1)已知a,b是正常数，a≠b,x,y∈(0,+∞),求证：,并指出等号成立的条件.

(2)求函数f(x)＝,x∈(0,)的最小值,指出取最小值时x的值.

(1)证明:∵a,b,x,y都是正数,

∴()(x+y)＝a²+b²+≥a²+b²+2ab＝(a+b)²,当且仅当,即bx＝ay时取“＝”.

∴,当且仅当bx＝ay时等号成立.

(2)解：∵0＜x＜,

∴0＜1-2x＜1.

由(1),知f(x)＝,

当且仅当3·2x＝2·(1-2x)，即x＝∈(0,)时取“＝”.

∴x＝时,f(x)的最小值为25.

10.已知a,b,c都是正数,且a+b+c＝1,求证:≥9.

证明:∵a,b,c都是正数,且a+b+c＝1,

∴,,

∴

＝≥

＝3+2+2+2＝9,

当且仅当a＝b＝c时取等号.

∴≥9.

9.已知a,b,c都是正实数,且满足log₄(16a+b)＝,则使4a+b≥c恒成立的c的取值范围是___________.

解析:由条件知,16a+b＝abb＝,∴4a+b＝.

由＞0,得a＞1.

令a-1＝t,则4a+b＝≥20+16＝36,当且仅当t＝,即t＝2时取“＝”.

因此要使不等式4a+b≥c恒成立,只要c≤36.又因为c为正数,因此c∈(0,36］.

答案:(0,36］

8.已知x,y∈R⁺，且x+4y＝1,且x·y的最大值为____________.

解析:xy＝x·4y≤,当且仅当x＝4y＝时取等号.

答案: