20. (1)解：∵，∴．

令，得．

①若，则，在区间上单调递增.

②若，当时，，函数在区间上单调递减，

当时，，函数在区间上单调递增，

③若，则，函数在区间上单调递减. ……6分

(2)解：∵，，

由(1)可知，当时，．

此时在区间上的最小值为，即．

当，，，∴．

曲线在点处的切线与轴垂直等价于方程有实数解．

而，即方程无实数解．

故不存在，使曲线在点处的切线与轴垂直……12分

20．(本小题满分12分)

已知，函数，(其中为自然对数的底数)．

(1)判断函数在区间上的单调性；

(2)是否存在实数，使曲线在点处的切线与轴垂直? 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

，

等号成立 ．

∴时，．…………………………………………10分

A．时，∵，

∴时．当，，

时，当，．……………………………12分

B．时，．

当时，．……………………………………………14分

综上，时，当时，，即MN与AB之间的距离为0米时，三角通风窗EMN的通风面积最大，最大面积为平方米．时，当时，， 即与之间的距离为米时，三角通风窗EMN的通风面积最大，最大面积为平方米．………………………16分

20．(本小题满分16分)

设函数f(x)＝x⁴+bx²+cx+d，当x＝t₁时，f(x)有极小值．

(1)若b＝－6时，函数f(x)有极大值，求实数c的取值范围；

(2)在(1)的条件下，若存在实数c，使函数f(x)在闭区间［m－2，m+2］上单调递增，求实数m的取值范围；

(3)若函数f(x)只有一个极值点，且存在t₂∈(t₁，t₁+1)，使f ′(t₂)＝0，证明：函数g(x)＝f(x)－x²+t₁x在区间(t₁，t₂)内最多有一个零点．

20解：(1)因为 f(x)＝x⁴+bx²+cx+d，所以h(x)＝f ′(x)＝x³－12x+c．……2分

由题设，方程h(x)＝0有三个互异的实根．

考察函数h(x)＝x³－12x+c，则h ′(x)＝0，得x＝±2．

所以 故－16<c<16．　 ………………………………………………5分

(2)存在c∈(－16，16)，使f ′(x)≥0，即x³－12x≥－c，　　 (*)

所以x³－12x>－16，

即(x－2)²(x+4)>0(*)在区间［m－2，m+2］上恒成立． …………7分

所以［m－2，m+2］是不等式(*)解集的子集．

所以或m－2>2，即－2<m<0，或m>4．　 ………………………9分

(3)由题设，可得存在α，β∈R，使

f ′(x)＝x³+2bx+c＝(x－t₁)(x²+αx+β)，

且x²+αx+β≥0恒成立． …………………………………………………11分

又f´(t₂)＝0，且在x＝t₂两侧同号，

所以f´(x) ＝(x－t₁)(x－t₂)²． …………………………………………13分

另一方面，

g ′(x)＝x³+(2b－1)x+t₁+c

＝x³+2bx+c－(x－t₁)＝(x－t₁)［(x－t₂)²－1］．

因为 t₁ < x < t₂，且 t₂－t₁<1，所以－1< t₁－t₂ < x－t₂ <0．

所以 0<(x－t₂)²<1，所以(x－t₂)²－1<0．

而 x－t₁>0，所以g ′(x)<0，所以g(x)在(t₁，t₂)内单调减．

从而g(x)在(t₁，t₂)内最多有一个零点．…………………………………16分

∴………………………………5分

(2) (一)时，．

∵，∴，∴．

①，当时，．

②，当时，．……………7分

21. 解析：(Ⅰ)由得函数的定义域为，

。　　　　　　　　 ………………………………　 2分

由得；由得，

∴函数的递增区间是；递减区间是。………………………………　 4分

(Ⅱ)由(1)知,在上递减,在上递增。　 ∴　

又∵，，且,

∴时,。　　　　　　 ………………………………　 6分

∵不等式恒成立, ∴，

即

∵是整数，∴。　　　　　　　

∴存在整数，使不等式恒成立。　 ……………………　 9分

(Ⅲ)由得，

令,则，

由得；由得。　

∴在上单调递减,在上单调递增.　　　 ……………………………… 　11分

∵方程在上恰有两个相异的实根,

∴函数在和上各有一个零点,　　　　　　

∴，

∴实数的取值范围是　　　 …………………………　 14分

21. (本小题满分14分)设函数.(Ⅰ)求函数的单调区间；

(Ⅱ)当时,是否存在整数，使不等式恒成立？若存在，求整数的值；若不存在，请说明理由。

(Ⅲ)关于的方程在上恰有两个相异实根,求实数的取值范围。

20. 解析：(Ⅰ)　 ∵ 　　　　　　　　　①

∴时, 　　　　　②　　　　　　 　

　 ①─②得： ……2分

　 由及得　

_∴是首项为，公比为2的等比数列，∴　　　　　　 ………………　 4分

(Ⅱ)解法一：由(Ⅰ)知 　　　　　　　　　　　　　………………　 5分

若为等差数列，

则则成等差数列, 　…………………………… 6分

_∴，∴　　 …………　 8分

当时，，显然成等差数列，

∴存在实数，使得数列成等差数列。　 ………………　 9分

解法二：由(Ⅰ)知 　　　　　　　　　　………………　 5分

∴　 ……………　 7分

要使数列成等差数列，则只须，即即可。……………8分

故存在实数，使得数列成等差数列。　　 　　………………　 9分

(Ⅲ)∵　　　 ………………　 10分

∴

　　　　　　　　　　　 …………………………………………　 12分

　　　 ∵， ∴，

∴ …14分

20. (本小题满分14分)设数列的前项和为，且，。

(Ⅰ) 求数列的通项公式；(Ⅱ)是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，则说明理由。

(Ⅲ)求证：。

19. 解析：(I)由题意得，

∴

∴P点轨迹是以A、F为焦点的椭圆.………………… 3分

设椭圆方程为 ，

则，

∴点的轨迹方程为 …………………………4分

曲线化为，

则曲线是圆心在，半径为1的圆。

而轨迹E：为焦点在Y轴上的椭圆，短轴上的顶点为 ………6分

结合它们的图像知：若曲线被轨迹E包围着，则

∴的最小值为　　　　　　　　　　　　　　　 …………………8分

(II))设，由得：

，

化简得，即　　　　　 …………………………10分

　　 而

∵点在圆内，∴

∴，　　 ………………………12分

∴，∴的取值范围为．……………14分

19. (本小题满分14分)已知定点A(0,－1)，点B在圆上运动，为圆心,线段AB的垂直平分线交BF于P．

(I)求动点P的轨迹的方程；若曲线被轨迹包围着，求实数的最小值。

　 (II)已知、，动点在圆内，且满足，求的取值范围．