7.已知a、b∈R,a+b+a²+b²＝24,则a+b的取值范围是_________________.

解析:∵a²+b²≥2ab,当且仅当a＝b时取“＝”，

∴2(a²+b²)≥(a+b)²,即a²+b²≥ (a+b)²,当且仅当a＝b时取“＝”.

∴24-(a+b)＝a²+b²≥ (a+b)²,当且仅当a＝b时取“＝”,

即(a+b)²+2(a+b)-48≤0.

解关于a+b的二次不等式，得-8≤a+b≤6.

答案:-8≤a+b≤6

6.一批货物随17列货车从A市以a km/h匀速直达B市，已知两地铁路线长400 km，为了安全，两列车之间的距离不得小于()² km，那么这批货物全部运到B市，最快需要

(　　 )

A.6 h　　　　　　　　　　　　 B.8 h　　　　　　　　 C.10 h　　　　　　 D.12 h

解析:第一列货车到达B市的时间为h，由于两列货车的间距不得小于()² km,所以第17列货车到达时间为+≥8，当且仅当,即a＝100(km/h)时成立，所以最快需要8 h,故选择B.

答案:B

5.若实数a、b满足a+b＝2,则3^a+3^b的最小值是(　　 )

A.18　　　 　　　　　　　B.6 　　　　　　　　　　C.　　　　　 　　　　D.

解析:由均值不等式,得3^a+3^b≥，当且仅当a＝b＝1时取等号，所以3^a+3^b的最小值是6,故选B.

答案:B

4.某学生用一不准确的天平(两臂不等长)称10 g药品,他先将5 g的砝码放在左盘,将药品放在右盘使之平衡;然后又将5 g的砝码放在右盘,将药品放于左盘使之平衡,则此学生实际所得药品(　　 )

A.小于10 g　　　　 　　　　B.大于10 g　　　　　 C.大于等于10 g　　　 D.小于等于10 g

解析:设左、右臂长分别为t₁、t₂,第一次称的药品为x₁,第二次称的药品为x₂,则有5t₁＝x₁t₂,x₂t₁＝5t₂,所以x₁+x₂＝5()＞5×2＝10,即大于10g.

答案:B

3.若a,b都是正实数,π是圆周率,e是自然对数的底数,则下列各式中可能大于a²+b²的是(　　 )

A.2(a+b-1)　　　　 　　B.()²+ab　　 　　　　　C.(a+b)　 　　　　　　　D.ab

解析:对于A,因为a²+b²-2(a+b-1)＝(a-1)²+(b-1)²≥0,因此a²+b²≥2(a+b-1);对于B,a²+b²-［()²+ab］＝＝≥0,因此a²+b²≥()²+ab;对于D,因为a²+b²≥2ab＞ab,所以a²+b²＞ab.

综上,可知只有C满足条件.

答案:C

2.下列结论正确的是(　　 )

A.当x＞0且x≠1时,≥2

B.当x＞0时,≥2

C.当x≥2时,的最小值是2

D.当0＜x≤2时,无最大值

解析:≥,当且仅当,即x＝1时等号成立.

答案:B

1.设x,y∈R,则“x²+y²≤1”是“|x|+|y|≤”成立的(　　 )

A.充分不必要条件　　　　　 B.必要不充分条件

C.充要条件　　　　　 　　　　D.既不充分也不必要条件

解析:∵2|x||y|≤|x|²+|y|²＝x²+y²≤1,

∴(|x|+|y|)²＝x²+2|x||y|+y²≤2.

∴|x|+|y|≤.

取x＝0,y＝,不满足x²+y²≤1,故是充分不必要条件.

答案:A

12.已知集合A＝{x|x²-6x+8＜0},B＝{x|(x-a)(x-3a)＜0}.

(1)若AB,求a的取值范围;

(2)若A∩B＝{x|3＜x＜4},求a的取值范围.

解：由题意,知A＝{x|2＜x＜4},

(1)当a＞0时,B＝{x|a＜x＜3a},

∴应满足_.

当a＜0时,B＝{x|3a＜x＜a},

∴应满足无解.

当a＝0时,B＝,显然不符合条件.

∴若AB,则a的取值范围为［,2］.

(2)要满足A∩B＝{x|3＜x＜4},显然a＞0,

∴B＝{x|a＜x＜3a}.

∴a＝3,B＝{x|3＜x＜9}.

从而A∩B＝{x|3＜x＜4},故所求的a值为3.

11.已知集合A＝{x|≥1,x∈R},B＝{x|x²-2x-m＜0}.

(1)当m＝3时,求A∩(B);

(2)若A∩B＝{x|-1＜x＜4},求实数m的值.

解：由≥1,得≤0,

∴-1＜x≤5.

∴A＝{x|-1＜x≤5}.

(1)当m＝3时,B＝{x|-1＜x＜3},

则B＝{x|x≤-1或x≥3}.

∴A∩(B)＝{x|3≤x≤5}.

(2)∵A＝{x|-1＜x≤5},A∩B＝{x|-1＜x＜4},

∴x＝4是方程x²-2x-m＝0的根.

∴4²-2×4-m＝0,解得m＝8.

此时B＝{x|-2＜x＜4},符合题意,故实数m的值为8.

10.设集合A＝{(x,y)|y≥|x-2|,x≥0},B＝{(x,y)|y≤-x+b},A∩B≠.

(1)则b的取值范围是_________________;

(2)若(x,y)∈A∩B,且x+2y的最大值为9,则b的值是_________________.

解析：(1)由图象可知,集合A表示的区域为图中的阴影部分,又A∩B≠,∴b的取值范围是［2,+∞);(2)若(x,y)∈A∩B,则(x,y)在图中的四边形内,且z＝x+2y在(0,b)处取得最大值,

∴0+2b＝9.∴.

答案：(1)［2,+∞)(2)