20．(本小题满分16分)

设函数，．

(Ⅰ)若，求的极小值；

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，是否存在实常数和，使得和？若存在，求出和的值．若不存在，说明理由．

(Ⅲ)设有两个零点，且成等差数列，试探究值的符号．

19．(本小题满分16分)

设等比数列的首项为，公比为(为正整数)，且满足是与的等差中项；数列满足().

(Ⅰ)求数列的通项公式；

(Ⅱ)试确定的值，使得数列为等差数列；

(Ⅲ)当为等差数列时，对每个正整数，在与之间插入个2，得到一个新数列. 设是数列 的前项和，试求满足的所有正整数.

18．(本小题满分16分)

已知在△中，点、的坐标分别为和，点在轴上方.

(Ⅰ)若点的坐标为，求以、为焦点且经过点的椭圆的方程；

(Ⅱ)若∠，求△的外接圆的方程；

(Ⅲ)若在给定直线上任取一点，从点向(Ⅱ)中圆引一条切线，切点为. 问是否存在一个定点，恒有？请说明理由.

21. [解析](1)令，解得，由，解得，

∴函数的反函数，则，得．

是以2为首项，l为公差的等差数列，故．　　　　　 ……3分

(2)∵，∴，

∴在点处的切线方程为，

令， 得，∴，

∵仅当时取得最小值，∴，解之，

∴的取值范围为．　　 　　　　　　　　　　　　　　　……7分

(3)，．

则，

因，则，显然．

∴

∴

∵，∴，

∴，∴

∴． ……12分

21．(本小题满分12分)已知函数的反函数为，数列和满足：，，函数的图象在点处的切线在轴上的截距为．

(1)求数列{}的通项公式；

(2)若数列的项仅最小，求的取值范围；

(3)令函数，，数列满足：，，且，其中．证明：．

20.解:(Ⅰ)因为，所以有

所以为直角三角形； …………………………2分

则有

所以，　　　　　　　　　　　　　　　　 …………………………3分

又，　　　　　 ………………………4分

在中有

即，解得

所求椭圆方程为　　　　　　　　　　　 …………………………6分

　(Ⅱ)

从而将求的最大值转化为求的最大值　　　　　　 …………………8分

是椭圆上的任一点，设，则有即

又，所以　　　　 ………………10分

而,所以当时，取最大值

故的最大值为　　　　　　　　　　　　　　　　 ……………………12分

20．(本小题满分12分)已知均在椭圆上，直线、 分别过椭圆的左右焦点、，当时，有.

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)设是椭圆上的任一点，为圆的任一条直径，求的最大值.

19.解：(Ⅰ)已知函数，　 …………1分

又函数在处取得极值2，　　　　　…………2分

即　　　 　　　 　…………………4分

(Ⅱ)由，得，即

所以的单调增区间为(－1，1)　　　 …………………　　 6分

因函数在(m，2m+1)上单调递增，

则有，　　　　　　　　　　　 …………7分

解得即时，函数在(m，2m+1)上为增函数　　 ………8分

(Ⅲ)

直线l的斜率　　　　　　　　　 …………9分

　即　 令，　　 …………10分

则

　 即直线l的斜率k的取值范围是　 ……………12分

19．(本小题满分12分)已知函数，在处取得极值为．

(Ⅰ)求函数的解析式；

(Ⅱ)若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围；

(Ⅲ)若为图象上的任意一点，直线与的图象相切于点，求直线的斜率的取值范围．

20．(本小题满分14分)

如图，在距离为600m的两条平行直道、之间的B处有一重点文化古迹，该古迹到直道的距离是其到直道的距离地两倍。为丰富当地居民的文化生活和开发当地的旅游资源，准备在两直道间修建一个恰好以B为其中的一个顶点、形状呈菱形的公园ABCD。为安全起见，要求直道与公园最近点C的距离为100m，直到与公园最近点A的距离为50m，设直道与BC所在直线的夹角为，直道与边所在直线的夹角为，。

(I)　　　　　　　　　 若，求。

(II)　　　　　　　 如果整个公园都建在古迹B的右侧(如图1)，，试探求一关于的函数关系式(不要求求出定义域)

(III)　　　　　　 如果公园分布在古迹B的左右两侧(如图2)，试探求公园面积S关于的函数并求其最小值。