16.解关于x的不等式(x-2)(ax-2)>0.

解：不等式的解及其结构与a相关,所以必须分类讨论.

当a=0时,原不等式化为

x-2<0,其解集为{x|x<2};

当a<0时,由于2>,原不等式化为

(x-2)(x-)<0,其解集为{x|<x<2};

当0<a<1时,因2<,原不等式化为(x-2)(x-)>0,其解集为{x|x<2或x>};

当a=1时,原不等式化为(x-2)²>0,其解集为{x|x≠2};

当a>1时,由于2>,原不等式化为(x-2)(x-)>0,其解集为{x|x<或x>2}.

从而可以写出不等式的解集为

a=0时,{x|x<2};

a<0时,{x|<x<2};

0<a<1时,{x|x<2或x>};

a=1时,{x|x≠2};

a>1时,{x|x<或x>2}.

15.不等式x²-3|x|+2>0的解集为_________________.

答案：{x|x<-2或-1<x<1或x>2}

解析：原不等式即为|x|²-3|x|+2>0,

即(|x|-2)(|x|-1)>0,

解得|x|>2或|x|<1.

由|x|>2得x>2或x<-2;

由|x|<1得-1<x<1.

综上,原不等式的解集为{x|x<-2或-1<x<1或x>2}.

14.若方程ax²+bx+c=0的两实根为x₁、x₂,集合S={x|x>x₁},T={x|x>x₂},P={x|x<x₁},Q={x|x<x₂},则不等式ax²+bx+c>0(a>0)的解集为(　　 )

A.(S∩T)∪(P∩Q)　　　　　　　　　　　　　　　 B.(S∩T)∩(P∩Q)

C.(S∪T)∪(P∪Q)　　　　　　　　　　 　　　　　　D.(S∪T)∩(P∪Q)

答案：A

解析：该方程的解集为x大于大根或x小于小根,“S∩T”相当于“x大于大根”,“P∩Q”相当于“x小于小根”,“(S∩T)∪(P∩Q)”相当于“x大于大根或x小于小根”.

13.已知集合A={x|≤0},B={x|x²-3x-c≤0}.

(1)若AB,求c;

(2)若BA,求c.

解：A={x|1＜x≤3＝,B={x|x²-3x-c≤0},

(1)由AB,可知函数y=x²-3x-c在{x|1＜x≤3}上恒有y≤0,

即x²-3x-c≤0c≥x²-3x=(x-)²-,

故y_max=0,即c≥0.

(2)由BA可知,B可能为,可能非空.

①B=时,Δ=9+4c<0c<-;

②B≠时,此时方程x²-3x-c=0的两根为x₁、x₂,即如图所示.

-≤c≤-2.

综合①②知c≤-2即为所求.

拓展应用　 跳一跳，够得着！

12.若关于x的不等式(m²+4m-5)x²-4(m-1)x+?3>0?对一切实数x恒成立,求m的取值范围.

解：m²+4m-5=0得m=-5或m=1.

(1)当m=1时原不等式变为3>0对x∈R恒成立,故m=1;

(2)当m=-5时原不等式变为24x+3>0,解集为{x|x>-}≠R,不合题意,即m≠-5;

(3)当m≠1且m≠-5时,m²+4m-5≠0,一元二次不等式(m²+4m-5)x²-4(m-1)x+3>0解集为R

1<m<19.

∴总之,1≤m＜19.

11.已知集合A={x∈R|x²-x-2≤0},B={x∈R|a<x<a+3}且A∩B=,则实数a的取值范围是___________________.

答案：a≥2或a≤-4

解析：A={x|-1≤x≤2}.

∵A∩B=,∴a≥2或a+3≤-1,

即a≥2或a≤-4.

10.已知不等式ax²+bx+2>0的解集是{x|-<x<},则a-b=_________________.

答案：-10

解析：由题中条件知a<0且-与是方程ax²+bx+2=0的两个根,代入方程,得

解之,得∴a-b=-10.

另外,本题也可利用韦达定理来解.

由也可得结果.

9.关于x的不等式x²-ax-6a<0的解集为{x|α<x<β}?(β-α≤5),则a的取值范围为(　　 )

A.{a|-25≤a≤1}　　　　　　　　　　　　　 B.{a|a≤-25或a≥1}

C.{a|-25≤a≤0或1≤a≤24}　　　　　　　　 D.{a|-25≤a<-24或0＜a≤1}

答案：D

解析：可知x²-ax-6a=0有两根,即Δ=a²+24a>0a>0或a<-24①,又有β-α=a²+24a-25≤0-25≤a≤1②.

由①②知0<a≤1或-25≤a<-24.

8.当a<0时,不等式42x²+ax-a²<0的解集为(　　 )

A.{x|<x<-}　　　　　　　　　　　　　 B.{x|-<x<}

C.{x|<x<-}　　　　　　　　　　　　　 D.空集

答案：A

解析：42x²+ax-a²<0,

∴(6x+a)(7x-a)<0,a<0.

∴<x<-.

7.设关于x的不等式(a-2)x²+2(a-2)x-4<0的解集为R.求a的取值范围.

解：(1)当a-2=0,即a=2时,

原不等式可化简为-4<0,成立.

∴a=2可取.∴x∈R.

(2)当a-2≠0,即a≠2时,

若保证x∈R,则有

-2<a<2.

综上,-2<a≤2.

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