2.若f(x)=,则方程f(4x)=x的根是(　　 )

A.　　　　　　　　　 B.-　　　　　　　 C.2　　　　　　　　　　 D.-2

答案：A

解析：由f(4x)=x,得=x4x²-4x+1=0x=.

1.下列各图中,可表示函数y=f(x)的图象的只可能是(　　 )

答案：D

解析：由函数的定义可知.

16.求证:关于x的方程x²+2ax+b=0有实数根,且两根均小于2的充分但不必要条件是a≥2且|b|≤4.

证明：∵a≥2,|b|≤4,∴a²≥4≥b.

∴Δ=4(a²-b)≥0.

∴方程x²+2ax+b=0有实根.

又∵

∴(x₁-2)+(x₂-2)=(x₁+x₂)-4=-2a-4≤-4-4=-8<0.

而(x₁-2)(x₂-2)=x₁x₂-2(x₁+x₂)+4=b+4a+4≥-4+8+4=8>0,

∴

由以上知,“a≥2且|b|≤4”方程有实数根且两根均小于2.

再验证条件不必要:取x²-x=0的两根为x₁=0,x₂=1,则方程的两根均小于2,而a=-<2,

∴“方程的两根小于2”“a≥2且|b|≤4”.

综上,a≥2且|b|≤4是方程有实数根且两根均小于2的充分但不必要条件.

15.全集为U,在下列条件中,哪些是BA的充要条件?

(1)A∪B=A;(2) A∩B=;(3) AB;?(4)A∪B=U.

答案是(填序号)______________.

答案：(1)(2)(3)(4)

解析：作文氏图,利用图形的直观性可知:①-④均是BA的充要条件.

14.ax²+2x+1=0中至少有一个负实数根的充要条件是(　　 )

A.0<a≤1　　　　　　　　 B.a<1　　　　　 C.a≤1　　　　　　　 D.0＜a≤1或a<0

答案：C

解析：验证a=0和a=1都满足题意.

13.已知a、b、c都是实数,证明ac<0是关于x的方程ax²+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.

证明：(1)充分性:

若ac<0,则Δ=b²-4ac>0,方程ax²+bx+c=0有两个相异的实根,设为x₁、x₂,

∵ac<0,∴x₁·x₂=<0,即x₁、x₂的符号相反,方程有一个正根和一个负根.

(2)必要性:

若方程ax²+bx+c=0有一个正根和一个负根,设为x₁、x₂,不妨设x₁<0,x₂>0.则x₁x₂=<0,∴ac<0.

由(1)(2)知ac<0是方程ax²+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.

拓展应用　 跳一跳，够得着！

12.已知p:|1-|≤2,q:x²-2x+1-m²≤0(m>0),且p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.

解法一：由x²-2x+1-m²≤0得1-m≤x≤1+m,

∴:A={x|x>1+m或x<1-m,m>0}.

由|1-|≤2得-2≤x≤10,

∴:B={x|x<-2或x>10}.

∵p是q的必要而不充分条件,

∴AB解得m≥9.

解法二：∵p是q的必要而不充分条件,

∴q是p的必要而不充分条件.

∴p是q的充分而不必要条件.

由x²-2x+1-m²≤0得1-m≤x≤1+m(m>0).

∴q:Q={x|1-m≤x≤1+m,m>0}.

又由|1-|≤2得-2≤x≤10,

∴p:P={x|-2≤x≤10}.

∵p是q的充分而不必要条件,

∴PQ解得m≥9.

11.方程3x²-10x+k=0有两个同号且不相等的实根的充要条件是________________.

答案：0<k<

解析：方程有两个同号且不相等的实根

解之即得0<k<.

10.已知a为非零实数,x为实数,则命题“x∈{-a,a}”是“|x|=a”的________________条件.

答案：既不充分也不必要

解析：当a>0时,x∈{-a,a}|x|=a;

当a<0时,x∈{-a,a}|x|=a.

9.设f(x)=x²-4x(x∈R),则f(x)>0的一个必要不充分条件是(　　 )

A.x<0　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B.x<0或x>4

C.|x-1|>1　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.|x-2|>3

答案：A

解析：f(x)>0x<0或x>4.

∴x<0f(x)>0.