14.设函数f(x)是(-∞,+∞)上的减函数,则f(2x-x²)的单调增区间是(　　 )

A.(-∞,2)　　　　 B.［-2,+∞］　　　　　 C.(-∞,-1]　　　　　　 D.［1,+∞)

答案：D

解析：令t=g(x)=2x-x²=-(x-1)²+1知:当x≥1时,函数g(x)单调递减;当x≤1时,函数g(x)单调递增.又因函数f(t)在(-∞,+∞)上递减,故f(2x-x²)的单调减区间为(-∞,1],增区间为［1,+∞).

13.设函数f(x)对于任意x、y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,若f(x²)-f(x)>f(bx)-f(b),求x的范围.

解：∵f(x+y)=f(x)+f(y)(x、y∈R),

∴2f(x)=f(x)+f(y)=f(2x).

同理,2f(b)=f(2b).

由f(x²)-f(x)>f(bx)-f(b),

得f(x²)+2f(b)>f(bx)+2f(x),

即f(x²)+f(2b)>f(bx)+f(2x).

即f(x²+2b)>f(bx+2x).

又∵f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,

∴x²+2b<bx+2x.

∴x²-(b+2)x+2b<0.

∴x²-(b+2)x+2b=(x-2)(x-b)<0.

当b>2时,得2<x<b;

当b<2时,得b<x<2;

当b=2时,得x∈.

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12.证明函数f(x)=-x在其定义域内是减函数.

证明:∵函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),

设x₁、x₂为区间(-∞,+∞)上的任意两个值且x₁<x₂,则f(x₁)=-x₁,f(x₂)=-x₂,

f(x₂)-f(x₁)= --(x₂-x₁)=-(x₂-x₁)

=(x₂-x₁)=(x₂-x₁)·.

∵x₂>x₁,∴x₂-x₁>0且+>0.

又∵对任意x∈R,都有>=|x|≥x,∴有>x,即有x-<0.

∴x₁-<0,x₂-<0.

∴f(x₂)-f(x₁)<0,即f(x₂)<f(x₁).

∴函数f(x)=-x在其定义域R内单调递减.

11.函数f(x)=|x²-2x-3|的增区间是_________________.

答案：(-1,1),(3,+∞)

解析：f(x)=画出图象易知.

10.已知函数f(x)=x³-x在(0,a］上递减,在［a,+∞)上递增,则a=____________

答案：

解析：设0<x₁<x₂<+∞,

f(x₁)-f(x₂)=(x₁-x₂)(x₁²+x₁x₂+x₂²-1),

当0<x₁<x₂≤时,x₁-x₂<0,x₁²+x₁x₂+x₂²-1<0,则f(x₁)>f(x₂).

同理,可证≤x₁<x₂时,f(x₁)<f(x₂),故f(x)在(0,)上递减,在［,+∞］上递增,故?a=.

9.若f(x)=x²+bx+c,对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t),那么(　　 )

A.f(1)<f(2)<f(4)　　　　　　　　　　　 B.f(4)<f(2)<f(1)

C.f(2)<f(1)<f(4)　　　　　　　　　　　 D.f(2)<f(4)<f(1)

答案：C

解析：∵对称轴x=-=2,∴b=-4.

∴f(1)=f(3)<f(4).

8.设函数f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,则下列不等式正确的是(　　 )

A.f(2a)<f(a)　　　　　　　　　　　　　 B.f(a²)<f(a)

C.f(a²+a)<f(a)　　　　　　　　　　　　 D.f(a²+1)<f(a)

答案：D

解析：∵a²+1-a=(a-)²+>0,

∴a²+1>a.函数f(x)在(-∞,+∞)上是减函数.

∴f(a²+1)<f(a).

7.定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=>0,又g(x)=f(x)+c(c为常数),在［a,b］上是单调递增函数,判断并证明g(x)在［-b,-a］上的单调性.

解：任取x₁、x₂∈［-b,-a］且-b≤x₁<x₂≤-a,

则g(x₁)-g(x₂)=f(x₁)-f(x₂)=.

∵g(x)=f(x)+c在［a,b］上是增函数,

∴f(x)在［a,b］上也是增函数.

又b≥-x₁>-x₂≥a,

∴f(-x₁)>f(-x₂).

又f(-x₁),f(-x₂)皆大于0,∴g(x₁)-g(x₂)<0,即g(x₁)<g(x₂).故g(x)在［-b,-a］上是单调增函数.

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6.函数f(x)在定义域［-1,1］上是增函数,且f(x-1)<f(x²-1),则x的取值范围是_____________.

答案：1<x≤

解析：依题意1<x≤.

5.函数y=的单调递增区间是___________,单调递减区间是_____________.

答案：［-3,-］　 ［-,2］

解析：由-x²-x-6≥0,即x²+x-6≤0,解得-3≤x≤2.

∴y=的定义域是［-3,2］.

又u=-x²-x+6的对称轴是x=-,

∴u在x∈［-3,-］上递增,在x∈［-,2］上递减.

又y=在［0,+∞］上是增函数,∴y=的递增区间是［-3,-］,递减区间［-,2］.