2、公理 4

平行于同一条直线的两条直线平行．它是证明“对应边平行且方向相同的两个角相等”即等角定理的基础，也是论证平行问题的主要根据．

1、定义

同一平面内，两条不相交的直线称为平行直线．

2、若从是否共面的角度看，也可分两类：

(1)在同一平面内--

(2)不同在任一平面内--异面直线．

空间两条不重合的直线有三种位置关系：相交、平行、异面．

1、若从有无公共点的角度看，可分两类

(1)有且仅有一个公共点--相交直线；

(2)没有共点--

2、平面的基本性质

(1)公理 1：对直线 a 和平面α，若点 A、B∈a , A、B∈α，则

(2)公理 2：若两个平面α、β有一个公共点P，则α、β有且只有一条过点P的公共直线 a。

(3)公理 3及三个推论即为平面的确定条件：

① 不共线的三点可确定一个平面；

② 一条直线和其外一点可确定一个平面；

③ 两条相交直线可确定一个平面；

④ 两条平行直线可确定一个平面．

1、平面的基本特征：无限延展性．

　　　 设球半径为R，

[典例解析]

例1. 已知正四棱锥底面正方形的边长为4cm，高与斜高的夹角为30°，如图，求正四棱锥的侧面积和表面积。(单位：)

　　　 分析：利用正棱锥的高、斜高、底面边心距组成的直角三角形求解，然后代入公式。

　　　 解：正棱锥的高PO、斜高PE，底面边心距OE组成Rt△POE。

　　　 ∵OE=2cm，∠OPE=30°，

　　　 点评：正四棱锥中有四个Rt△，应引起重视，即原题图中Rt△POB、Rt△POE、Rt△PBE、Rt△OBE。

　 例2. 一个正四棱台两底面边长分别为m、n，侧面积等于两个底面积之和，则这个棱台的高为(　　 )

　　　 A. 　　　　　　 B. 　　　　　　 C. 　　　　　　 D.

　　　 分析：利用直角梯形，转化为直角三角形，结合面积公式求解。

　　　 解：如图所示，设分别为棱台上、下底面中心，、M分别为的中点，连结，则M₁M为斜高。

　　　 过M₁作M₁H⊥OM于H点，则M₁H=OO₁

　　　 由已知得

　　　 在Rt△M₁HM中，MH=OM－O₁M₁

 ∴应选A。

　　　 点评：在正四棱台中有三个直角梯形应注意，一个是O₁OMM₁，一个是O₁OBB₁，一个是B₁BMM₁，它们都可以转化成直角三角形，利用直角三角形求解。

　 例3. 如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA₁=8，若侧面AA₁B₁B水平放置时，液面恰好过AC、BC、A₁C₁、B₁C₁的中点，当底面ABC水平放置时，液面高为多少？

　　　 分析：当三棱柱的侧面AA₁B₁B水平放置时，液体部分是四棱柱，其高为原三棱柱的高，侧棱AA₁的长为8。

　　　 解：设AC、BC边的中点分别为E、F，设当底面ABC水平放置时，液面高度为h。

　　　 由条件及两种状态下液体体积相等可得，∴h=6。

　　　 点评：等积法是立体几何中的常用方法，在柱、锥中经常通过灵活转换底面，顶点来求高或点到面的距离，应熟练掌握。

　 例4. (1)用一块矩形铁皮作圆台形铁桶的侧面，要求铁桶的上底半径是24cm，下底半径为16cm，母线长为48cm，则矩形铁皮的长边长最少是多少？

(2)一扇形铁皮AOB，半径OA=72cm，圆心角∠AOB=60°，现剪下一个扇环ABCD作圆台形容器的侧面，并从剩余的扇形COD内剪下一个最大的圆刚好做容器的下底(圆台下底面大于上底面)，则OC应取多少？

分析：圆台侧面展开图为一扇环，扇环两弧长分别为圆台上、下底面圆的周长。

解：(1)如图(1)，设圆台的侧面展开图的圆心角为∠α，OA=x。

由相似三角形知识得

则，为等边三角形。

，即矩形铁皮的长边长最少为144cm。

(2)如图(2)，∵∠AOB=60°=

∴圆O₁周长，即

在Rt△O₁MO中，∠，∴OO₁=2O₁M=24

点评：注意展开前后有关数学量的变与不变关系，是解决此类问题的突破口。

专题四　 空间的平行与异面直线

　　　 ，其中S为台体的上底面面积，S’为台体的下底面面积，h为台体的高。

　　　 ，其中S为底面积，h为锥体的高。

　　　 V=Sh，其中，S为底面积，h为柱体的高。

　　　 评注：它既适合于棱柱，又适合于圆柱。