[例1] (1)已知=3,求的值；

(2)已知lg(x+y)+lg(2x+3y)－lg3=lg4+lgx+lgy,求的值.

(1)分析:由分数指数幂运算性质可求得和x²+x^－2的值.

解:∵=3，

∴

=3³－3×3=18.

x²+x^－2=(x+x^－1)²－2=［(－2］²－2=(3²－2)²－2=47.

∴原式=.

(2)分析:注意x、y的取值范围，去掉对数符号，找到x、y的关系式.

解:由题意可得x>0,y>0,由对数运算法则得

lg(x+y)(2x+3y)=lg(12xy),

则(x+y)(2x+3y)=12xy.

(2x－y)(x－3y)=0,

即2x=y或x=3y.

故或=3.

评注:条件代数式的求值问题包括以下三个方面:(1)若条件简单,结论复杂,可从化简结论入手用上条件;(2)若条件复杂,结论简单,可从化简条件入手,转化成结论的形式;(3)若条件与结论的复杂程度相差无几时,可同时对它们进行化简,直到找出它们之间的联系为止.

对于齐次方程的化简,也可在方程两边同除以某一齐次项,把方程转化成要求的代数式为未知数的方程的形式.

●知识网络

●范题精讲

19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=的定义域恰为不等式log₂(x+3)+ x≤3的解集，且f(x)在定义域内单调递减，求实数a的取值范围.

解:由log₂(x+3)+ x≤3得

log₂(x+3)≤3+log₂x=log₂8x.

∴∴x≥.设x₂＞x₁≥,

f(x₂)－f(x₁)=

=.

∵f(x)在［，+∞)上单调递减,

∴f(x₂)＜f(x₁)，即＜0.

∵x₁x₂＞0,x₁－x₂＜0,∴ax₁x₂+1＞0，即a＞－.

由x₂＞x₁≥知x₁x₂＞,∴－＜－∴a≥－.

18.(本小题满分12分)已知二次函数f(x)的二次项系数为负数，且对任意x恒有f(2－x)=f(2+x)成立，解不等式f［(x²+x+)］＞f［(2x²－x+)］.

解:因为对任意x，恒有f(2－x)=f(2+x)成立，可得二次函数f(x)的对称轴是x=2.

∵x²+x+=(x+)²+≥,

2x²－x+=2(x－)²+≥,

∴(x²+x+)≤=2,

(2x²－x+)≤()=1.

∵二次函数f(x)的二次项系数为负数，

∴在对称轴左侧f(x)为增函数.

∴(x²+x+)＞(2x²－x+)

x²+x+＜2x²－x+

x²－2x+＞0

x＜－或x＞.

故不等式的解集为(－∞,)∪(,+∞).

17.(本小题满分12分)某电器公司生产A型电脑.1993年这种电脑每台平均生产成本为5000元,并以纯利润20%确定出厂价.从1994年开始,公司通过更新设备和加强管理,使生产成本逐年降低.到1997年,尽管A型电脑出厂价仅是1993年出厂价的80%,但却实现了50%纯利润的高效益.

(1)求1997年每台A型电脑的生产成本;

(2)以1993年的生产成本为基数,求1993年至1997年生产成本平均每年降低的百分数.(精确到0.01,以下数据可供参考:=2.236,=2.449)

分析:出厂价=单位商品的成本+单位商品的利润.

解:(1)一方面可以根据1993年的出厂价求得1997年的出厂价;另一方面根据题意可把1997年的出厂价用1997年的生产成本表示,列出方程求解.

设1997年每台电脑的生产成本为x元,依题意,得

x(1+50%)=5000×(1+20%)×80%,解得x=3200(元).

(2)因为1993年至1997年四年间成本平均每年降低的百分率相等,因此可把1997年每台的生产成本用这个百分率来表示,而这个量应与第(1)问中求得的1997年每台电脑的生产成本相等,据此列出方程求解.

设1993年至1997年间每年平均生产成本降低的百分率为y,则依题意,得5000(1－y)⁴=3200,

解得y₁=1－,y₂=1+(舍去).

所以,y=1－≈0.11=11%.

即1997年每台电脑的生产成本为3200元,1993年至1997年生产成本平均每年降低11%.

16.(本小题满分10分)已知y=log₄(2x+3－x²).

(1)求定义域；

(2)求f(x)的单调区间；

(3)求y的最大值，并求取最大值时x的值.

解:(1)由2x+3－x²>0,解得－1<x<3.

∴f(x)的定义域为{x|－1<x<3}.

(2)令u=2x+3－x²，则u>0,y=log₄u.

由于u=2x+3－x²=－(x－1)²+4.

再考虑定义域可知，其增区间是(－1，1)，减区间是［1，3).

又y=log₄u在(0,+∞)上为增函数，故该函数单调递增区间为(－1，1)，减区间为［1，3］.

(3)∵u=2x+3－x²=－(x－1)²+4≤4,

∴y=log₄u≤log₄4=1.

故当x=1，u取最大值4时，y取最大值1.

15.(本小题满分8分)某摩托车生产企业,上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适当增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1),则出厂价相应的提高比例为0.75x,同时预计年销售量增加的比例为0.6x.

(1)写出本年度预计的年利润y与投入增加的比例x的关系式;

(2)为使本年度的年利润比上年有所增加,问投入成本增加的比例x应在什么范围内.

分析:年利润=(出厂价－投入成本)×年销售量.

解:(1)由题意,得y=［1.2(1+0.75x)－1×(1+x)］×1000(1+0.6x)(0＜x＜1).

整理,得y=－60x²+20x+200(0＜x＜1).

(2)要保证本年度的利润比上年度有所增加,只需

即

解得0＜x＜,

即为保证本年度的利润比上年度有所增加,投入成本的比例应满足0＜x＜.

14.若函数f(x)=lg(x²+ax－a－1)在区间［2,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是_________.

解析:本题考查复合函数单调性的判定方法,要注意判断函数的单调性必须在函数的定义域内进行.

∵函数f(x)在区间［2,+∞)上单调递增,

∴－≤2,且x=2时,x²+ax－a－1＞0,即

∴

∴a＞－3,即实数a的取值范围是(－3,+∞).

答案:(－3,+∞)

13.国家规定的个人稿酬纳税方法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元的14%纳税；超过4000元按全部稿酬的11%纳税.某人出版了一本书，共纳税420元，他的稿费为_______元.

解析:若其稿费为4000元，则应纳税3200×14%=448>420.

故稿费应小于4000元，设为x元.

则(x－800)14%=420,解得x=3800(元).

答案:3800

12.3^{log9(lg2－1)2}+5^{log25(log0.5－2)2}等于_________.

解析:3^{log9(log2－1)2}+5^{log25(log0.5－2)2}==9^{log9(1－lg2)}+25^{log25(2－lg0.5)}

=1－lg2+2－lg0.5=3－lg(2×0.5)=3.

答案:3