20． (本题满分16分)

已知f(x)=xlnx，g(x)=x³+ax²－x+2．

(Ⅰ)若a=1，求函数y= g(x)的图像过点P(－1,3)的切线方程；

(Ⅱ)对一切的x∈(0，+∞)，2 f(x)≤g′(x)+2恒成立,求实数的取值范围．

19．(本题满分16分 )

在平面直角坐标系中，椭圆C： (a＞b＞0)，圆O：x²+y²=a²，且过点A(，0)所作圆的两条切线互相垂直．

(Ⅰ)求椭圆离心率；

(Ⅱ)若直线y=2与圆交于D、E；与椭圆交于M、N，且DE=2MN，求椭圆的方程；

(Ⅲ)设点T(0，3)在椭圆内部，若椭圆C上的点到点P的最远距离不大于5，求椭圆C的短轴长的取值范围．

18． (本题满分16分 )

在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AB=AC=1，∠BAC=90°，且异面直线A₁B与B₁C₁所成的角等于60°，设AA₁=a ．

(Ⅰ)求a的值；

(Ⅱ)求平面A₁BC₁与平面B₁BC₁所成的锐二面角的大小．

17． 如图，某纸箱厂用矩形硬纸板(PQST)割去四个矩形角，设计为按虚线折叠成的长方体纸箱．其中矩形ABCD为长方体的下底面，两全等矩形EFNM、HGNM拼成长方体纸箱盖，设纸箱长AB为x．

(Ⅰ)若长方体纸箱的长、宽、高分别为80cm、50cm、40cm、则硬纸板PQST的长、宽应为多大？

(Ⅱ)若硬纸板PQST的长PT=240cm，宽TS=150cm，按此设计，当纸箱的长AB为何值时，纸箱体积最大？并计算最大体积．

16．(本题满分14分 )如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2BC=2a，，E为线段AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE，使A′C=2a， F为线段A′C的中点．

(Ⅰ)求证：BF∥平面A′DE；

(Ⅱ)求证：平面A′DE⊥平面ABCD．

15．如图，直角三角形ABC的顶点坐标A(－2，0)，直角顶点B(0，－2)，顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点．

(Ⅰ)求BC边所在直线方程；

(Ⅱ)M为直角三角形ABC外接圆的圆心，求圆M的方程；

(Ⅲ)若动圆N过点P且与圆M内切，求动圆N的圆心N的轨迹方程．

14．已知函数f(x)=x³－2x²+ax+1(a∈R)，若函数f(x)在区间(，1)内是减函数，则a的取值范围是　　　　 ．

13．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A、B两点，若AB中点为(2，2)，则直线l的方程为　　　　　　　

12．正四面体棱长为1，其外接球的表面积为　　　　 ．

11．已知p：一4＜x－a＜4，q：(x一2)(3一x)＞0，若¬p是¬q的充分条件，则实数a的取值范围是　 ．