1.式子1²+2²+3²+…+n²=在(　 )

A.n为任何自然数时都成立

B.n=1,2时成立,n=3时不成立

C.n=4时成立,n=5时不成立

D.n=3时成立,n=4时不成立

解析用数学归纳法证题的前提是分清等式两边的构成情况,就本题而言,它的左边是从1开始的n个连续正整数的平方和的形式,可采用直接代入法求解.

答案 D

19.★(本小题满分10分)已知数列{a_n}的前n项和为S_n,其满足a₁=1,3S_n=(n+2)a_n,问是否存在实数a、b、c使得a_n=a·n²+b·n+c对一切n∈N*都成立?若存在,求出a,b,c;若不存在,请说明理由.

分析 本题是一道探索性问题,可从假设结论成立入手.

解 假设满足条件的a,b,c存在,将n=2,3代入3S_n=(n+2)a_n中,可得a₂=3,a₃=6.

代入a_n=an²+bn+c中,可得　　　　　 解得

∴a_n=n²+n.　　　　 5分

证明:(1)当n=1时,命题成立.

(2)假设当n=k(k∈N*)时命题成立,即a_k=k²+k,

那么由a_k+1=S_k+1-S_k=a_k+1-a_k,　　　　　　　　　　　　 7分

得a_k+1=a_k=(k²+k)=(k+2)(k+1)=(k+1)²+(k+1).

也就是说,当n=k+1时等式也成立.

根据(1)、(2)可知,对任何n∈N*等式都成立.　　　　　　　　　　 10分

18.★(本小题满分10分)已知数列{a_n}是由正数构成的数列,a₁=3,且满足lga_n=lga_n-1+lgc,其中n是大于1的整数,c是正数.

(1)求数列{a_n}的通项公式及前n项和S_n;

(2)求的值.

分析 题考查等比数列的求和及常见数列的极限.一般地,当等比数列的公比q是一字母常数时,在求和过程中,要分q=1和q≠1两种情况进行讨论.

解　(1)由已知得a_n=c·a_n-1,　　　　　2分

∴{a_n}是以a₁=3,公比为c的等比数列,则a_n=3·c^n-1.

∴　　　5分

(2)

①当c=2时,原式=-;　　　　　　　6分

②当c>2时,原式=;　　　8分

③当0<c<2时,原式=　　10分

17.(本小题满分8分)已知数列{a_n}中,a_n≠0(n∈N*)且当n≥2时等式恒成立,求证:{a_n}成等差数列.

分析 加深理解数学归纳法是判定数列特殊性的基本方法.关键是把判定等差数列的方法转化为公式,从而明确归纳法的应用对象.

证明 (1)当n=2时,由2a₂=a₁+a₃,

∴a₁,a₂,a₃成等差数列,结论成立.　　　　　　　 2分

(2)假设n=k(k∈N*)时,结论成立,

即由

可推出a₁,a₂,…,a_k+1成等差数列.

则n=k+1时,∵成立,　　 4分

∴

∴ka_k+2+a₁=(k+1)a_k+1.

又∵a_k+1=a₁+kd,

(d为等差数列a₁,a₂,…,a_k+1的公差)

∴ka_k+2+a₁=(k+1)(a₁+kd).

∴a_k+2=a₁+(k+1)d.

∴a₁,a₂,…,a_k+2成等差数列.　　　　　　　 6分

∴n=k+1时,结论成立,

由(1)、(2)知,对于一切n≥2结论成立.　　 8分

16.(本小题满分8分)已知数列{a_n}的前n项和为S_n,a_n=5S_n-3(n∈N*),求(a₁+a₃+a₅+…+a_2n-1)的值.

分析 由式子a_n=5S_n-3,易得到a_n与S_n的关系式.由a_n=S_n-S_n-1(n≥2),利用此式,再对n进行合适的赋值,便可消去S_n,得到{a_n}的递推关系式,进而确定数列{a_n},再求(a₁+a₃+a₅+…+a_2n-1).

解 a₁=S₁,a_n=S_n-S_n-1(n≥2).

又已知a_n=5S_n-3,∴a_n-1=5S_n-1-3(n≥2).

两式相减,得a_n-a_n-1=5(S_n-S_n-1)=5a_n(n≥2).

∴a_n=-a_n-1(n≥2).　　 　　2分

由a₁=5S₁-3及a₁=S₁,得a₁=.

可见{a_n}是首项为,公比q=-的等比数列.　　　 4分

∴a₁+a₃+a₅+…+a_2n-1是首项为,公比为q²=(-)²=的等比数列.　　　　　 6分

由于|q²|<1,∴( a₁+a₃+a₅+…+a_2n-1)=　　　　　　　 8分

15.(本小题满分8分)在数列{a_n}中,a₁=,.

(1)求a₂,a₃,a₄;

(2)求数列{a_n}的通项公式,并予以证明.

分析 本题考查归纳、猜想及用数学归纳法证题的能力.如何利用归纳假设是本题成败的关键.

解 (1)由题设,得a₂==,a₃==,a₄=　　　　　 2分

(2)猜测:a_n=,下面用数学归纳法证明:

①当n=1,2,3,4时,已验证.

②假设当n=k(k≥4)时,公式成立,即

a_k=.　　　　　 4分

∴a_k+1=

即(k+3)a_k+1=a₁+a₂+…+a_k-1+a_k

=a_k(2+3+…+k)+a_k

=a_k(1+2+3+…+k)=a_k·(k+1).

∴a_k+1==　　　 6分

=

这就是说,当n=k+1时,公式也成立.

综上①②可知,对任何正整数n,a_n=.　　　　　 8分

14.若,则a=　　 ,b=　　　 .

分析 本题考查当x→x₀时，函数的极限.当把x=1代入函数解析式时，分母为零，故需进行分子有理化，使分子出现(x-1)因式，约去该因式后，再代入求值即可.

解

则b²-a=1，且(1+1)(-b)=1.

解得a=-,b=-.

答案 - -

13.给定极限(n·sin)=1,则极限　　　　　 .

分析 本题考查常见数列的极限,如何把待求结论拼凑成已知的形式是解题的关键.

解 原式=()=1-=1-=.

答案

12.　　　　　　 .

分析 本题考查函数的极限.若把代入函数解析式,解析式无意义,故应化简函数解析式,约去使它的分母为0的因式,再求极限.

解

答案 -2

11.在用数学归纳法证明“f(n)=49ⁿ+16n-1(n∈N*)能被64整除”时,假设f(k)=49^k+16k-1(k∈N*)能被64整除,则f(k+1)的变形情况是f(k+1)=　　　　　 .

分析 用数学归纳法证明整除性问题的关键是把n=k+1时的情况拼凑成一部分为归纳假设的形式,另一部分为除数的倍数的形式.

解 f(k+1)=49^k+1+16(k+1)-1=49·49^k+16k+16-1

=49(49^k+16k-1)-49×16k+49+16k+15

=49(49^k+16k-1)-64(12k-1).

答案 49(49^k+16k-1)-64(12k-1)