23．(北京卷)某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.

　　 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；

　　 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.

　　 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.

　　 (Ⅰ)分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；

　　 (Ⅱ)试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.(说明理由)

解：设三门考试课程考试通过的事件分别为A，B，C，相应的概率为a，b，c

(1)考试三门课程，至少有两门及格的事件可表示为AB+AC+BC+ABC，设其概率为P₁，则P₁＝ab(1－c)+a(1－b)c+(1－a)bc+abc＝ab+ac+bc－2abc

设在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格的概率为P₂，则P₂＝ab+ac+bc

(2)P₁－P₂＝(ab+ac+bc－2abc)－(ab+ac+bc)＝ab+ac+bc－2abc

＝(ab+ac+bc－3abc)＝(ab(1-c)+ac(1－b)+bc(1－a))>0

\P₁>P₂即用方案一的概率大于用方案二的概率.

22．(安徽卷)在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较。在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂。现有芳香度分别为0，1，2，3，4，5的六种添加剂可供选用。根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。

(Ⅰ)求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4的概率；

(Ⅱ)求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3的概率；

解：设“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4”的事件为A，“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3”的事件为B

(Ⅰ)芳香度之和等于4的取法有2种：、，故。

(Ⅱ)芳香度之和等于1的取法有1种：；芳香度之和等于2的取法有1种：，故。

21．(安徽卷)在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较。在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂。现有芳香度分别为0，1，2，3，4，5的六种添加剂可供选用。根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。用表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和。

(Ⅰ)写出的分布列；(以列表的形式给出结论，不必写计算过程)

(Ⅱ)求的数学期望。(要求写出计算过程或说明道理)

解：(Ⅰ)

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
P

(Ⅱ)

20．(上海春)同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低；反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高. 这两个事实可以用数学语言描述为：若有限数列 满足，则　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (结论用数学式子表示).

解：如果在有限数列 中，按顺序去掉一些高分 ，那么有不等关系 ； 如果在有限数列 中，按顺序去掉一些低分 ，那么有不等关系 ．从而应填 ，与 ． 三、解答题(共27题)

19．(四川卷)设离散型随机变量可能取的值为1，2，3，4。(1，2，3，4)。又的数学期望，则　　　 　;

解：设离散性随机变量可能取的值为，所以

，即，又的数学期望，则，即，,∴ .

18．(上海卷)在一个小组中有8名女同学和4名男同学，从中任意地挑选2名同学担任交通安全宣传志愿者，那么选到的两名都是女同学的概率是______(结果用分数表示)。

解：在一个小组中有8名女同学和4名男同学，从中任意地挑选2名同学担任交通安全宣传志愿者，那么选到的两名都是女同学的概率是.

17．(上海卷)两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是 　　　　　　　(结果用分数表示)．

解：分为二步完成： 1) 两套中任取一套，再作全排列，有种方法；2) 剩下的一套全排列，有种方法；所以，所求概率为：；

16．(山东卷)某学校共有师生2400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是　　　.

解：抽取教师为160-150=10人，所以学校教师人数为2400×=150 人。

15．(全国II)一个社会调查机构就某地居民

的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了

样本的频率分布直方图(如右图)．为了分析居

民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要

从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作

进一步调查，则在［2500，3000)(元)月收入

段应抽出　　　　　　　 人．

解析:由直方图可得(元)月收入段共有人

按分层抽样应抽出人

14．(湖南卷)某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班. 其中甲班有40人，乙班50人. 现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是　　　分.

解析：某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班. 其中甲班有40人，乙班50人. 现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是分.